Si $b^2$ es el divisor más grande cuadrado de $n$ y $a^2 \mid n$ y $a \mid b$.

Question

Estoy tratando de probar esto:

$n$, $a$ y $b$ son enteros positivos. Si $b^2$ es la plaza más grande divisor de $n$$a^2 \mid n$,$a \mid b$.

Yo quiero probar esta contradicción, y no quiero ir a través del teorema fundamental de la aritmética para hacer la contradicción. Puedo probar esta estrictamente a partir de las propiedades de la divisibilidad y de MCD?

Desde $b^2$ es la plaza más grande divisor de $n$,

$$ a^2 \le b^2 \implica un \le.b. $$

Supongamos que $a \nmid b$. Ahora, quiero llegar en el hecho de que no es un número entero positivo $c$ tal que $c > b$$c^2 \mid n$. Esta va a ser una contradicción con la suposición de que $b^2$ es la plaza más grande divisor de $n$.

¿Cómo puedo hacer esto?

Answer 1

% Toque $\ $Supongamos que $\rm\:A^2\:|\:B^2C,\:$ y $\rm\:C\:$ es squarefree. Cancelar $\rm\:(A,B)^2\:$ a $\rm\:a^2\:|\:b^2 C,\ (a,b)=1.\:$ ahí $\rm\:a^2\:|\:C\:$por el lema de Euclides. Pero squarefree, así $\rm\:C\:$ $\rm\:a=1,\:$ lo $\rm\:A = (A,B),\:$ $\rm\:A\:|\:B.$

Es de observación $\ $ $(1\Rightarrow 2)$ en las caracterizaciones de $5$ de squarefree que dio aquí.

La prueba de Bezout basado en respuesta de Brett se puede expresar más sucinto como sigue: $$\rm a^2\:|\:b^2c\:\Rightarrow\:a^2\:|\:(bc)^2\:\Rightarrow\: a\:|\:bc\Rightarrow\: a^2\:|\:a^2c,abc,b^2c\:\Rightarrow\: a^2\:|\:(a,b)^2c\:\Rightarrow\: (a/(a,b))^2\:|\:c$ $

Answer 2

Supongamos que $n=ka^2=mb^2$. Si $d=\gcd(a,b)$, podemos dividir por $d^2$ para obtener una ecuación $n'=ka'^2=mb'^2$ $\gcd(a',b')=1$, y claramente $a\mid b$ iff $a'\mid b'$iff $a'=1$, para que así podamos asumir desde el principio que $\gcd(a,b)=1$ y tratar de mostrar que $a=1$.

Escriba $b=aq+r$ $0\le r<a$ y tenga en cuenta que $\gcd(a,r)=1$. Entonces $$ka^2=mb^2=m(aq+r)^2=mq^2a^2+2mqra+mr^2\;,$$ so $a^2\mid 2mqa+mr^2$, and in particular $a\mid mr^2$. Since $\gcd (a, r) =1$, $a\mid m$; let $m'=m/a$. Then $a\mid 2m'qa+m'r^2$, so $a\mid m'r^2$, and $a\mid m'$. Thus, $a^2\mid m $, and hence $ (ab) ^ n 2\mid $. The choice of $b $ now implies that $ un = 1$, como se desee.

Answer 3

si quieres hacerlo por la contradicción de partida con suponiendo $b^2$ es la plaza más grande divisor de $n$, $a^2|n$ y $a \nmid b$. A continuación, vamos a $c=\frac{a}{gcd(a,b)}$. Desde $a \nmid b$ sabemos que $a \neq b$$c>1$. Ahora, podemos decir que el $c|a \implies c^2|a^2 \implies c^2|n$. También, desde la $c$ $b$ son relativamente primos (por la forma en que hemos definido la $c$), podemos decir $n=xb^2c^2=x(bc)^2$, ya que estamos tratando en los enteros positivos, se deduce que el $b < bc \implies b^2 < (bc)^2$, con lo que tenemos una contradicción.

${\bf Note:}$ Se debe dividir el mcd de a y b antes de multiplicar para asegurarse de que son relativamente primos, de lo contrario se corre el riesgo de obtener un número mayor que el original $b$ Por ejemplo, supongamos que tenemos el número de $2^23^25^2=900$ así que puedo decir $15^2|900$ $6^2|900$ pero $900\neq 15^26^2x$ donde $x$ es un número entero

Answer 4

Deje $\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{ab}{\gcd(a,b)}$. Puesto que el $\gcd$ divide tanto a a$a$$b$, está claro a partir de la definición que el $\operatorname{lcm}$ es un número entero divisible por tanto $a$$b$. Y si $a$ no divide $b$, $\operatorname{lcm}$ es estrictamente mayor que $b$, ya que el $a\neq \gcd(a,b)$. Por esta cuestión, el squareroot de un número entero es un número entero o irracional, por lo que desde $a^2b^2|n^2$, $ab|n$.

Pick $x$$y$, de modo que $ax+by=\gcd(a,b)$. A continuación, $\frac{n}{(\operatorname{lcm}(a,b))^2}=\frac{n}{a^2b^2}\cdot (ax+by)^2=\frac{n}{a^2b^2}\cdot (a^2x^2+2abxy+b^2c^2)=\frac{nx^2}{b^2}+\frac{2nxy}{ab}+\frac{ny^2}{a^2}$ es un número entero.