Número de unidades de un anillo comutativo

Question

En nuestra Álgebra Abstracta de la clase, hemos discutido la idea de una unidad en general anillo y se ha planteado la siguiente pregunta: "Demostrar que no puede haber un anillo conmutativo con $1$ (la identidad multiplicativa) y $5$ unidades".

Mi hipótesis es que no hay conmutativa anillos que tienen una cantidad impar de unidades. Esto es porque si $a$ es una unidad, entonces hay un $b \in R$ tal que $ab = ba = 1$. Pero, ¿no implica esto que $b$ tendría que ser una unidad así? Y además, sé que si $a$ es una unidad, entonces la $-a$ es una unidad así. Así, esto implicaría que las unidades tienen que venir en pares y por lo tanto, nunca podemos tener una cantidad impar de unidades. Sin embargo, esta persona ha construido un anillo con una cantidad impar de unidades.

Así que, supongo que mi pregunta es ¿por qué no puedo tener $5$ unidades en un anillo conmutativo? ¿Qué acerca de la conmutatividad me da el hecho de que no puedo tener $5$ unidades?

Answer 1

Su enlace en realidad le da una gran sugerencia en cuanto a cómo hacerlo, ya que muestra que el $a=-a$ en cualquier contraejemplo, y más en general de ese $U(R)$ no tiene subgrupos de orden $2$.

Suponga que $R$ es un communitive anillo con unidad y $5$ unidades. Nuestras cinco unidades de $1, a, a^{-1}, b, b^{-1}$ algunos $a,b$. A ver que $a,a^{-1}$ son distintos, observe que, para todos los $x\in R$,

$$a=a^{-1}\Rightarrow xa=xa^{-1} \Rightarrow xa^{2}=x\Rightarrow a^2=1$$

Por lo tanto si $a\neq 1$, $\{1,a\}\leq U(R)$ orden $2$, lo cual es una contradicción. A ver que $a\neq b, a\neq b^{-1}$ sólo tenga en cuenta que si este no era para celebrar, entonces, hemos hecho un mal trabajo de picking $b$, y hay otras dos unidades de ahí, por supuesto.

Ahora lo que necesita para demostrar que no importa cómo la multiplicación se define entre las unidades, siempre se puede derivar una contradicción. Trate de mirar los posibles valores de $ab$ y, a continuación, la construcción de un elemento cuyo cuadrado es $1$.