llevan una señal que prueba que :

Question

Determinado $a,b,c\ge1;abc\ge8$. Demostrando que %#% $ #%

He probado usando la desigualdad de Jensen:

Consideramos la desigualdad: $$\sqrt{a^2-1}+\sqrt{b^2-1}+\sqrt{c^2-1}\ge 3\sqrt3$

Cuando $\displaystyle\sqrt{x^2-1}\ge\sqrt3+\frac4{\sqrt3}\ln\frac x2\tag{i}$, puedo probar $x>\frac85$ verdad. Pero está claro que no es cierto para todas las $(\text i)$ $(\text i)$, y en este caso no puedo demostrar que $x<\frac85$.

Answer 1

$x^2=a^2-1,y^2=b^2-1,z^2=c^2-1 \implies (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)\ge 64 \to x+y+z \ge 3\sqrt{3}$

que $3u=x+y+z,3v^2=xy+yz+xz,w^3=xyz \implies u \ge v \ge w,(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)\ge 64 \iff w^6-6uw^3+9u^2-6v^2+9v^4-63=f(w^3) \ge 0 \implies \Delta\le 0 \implies 36u^2-4(9u^2-6v^2+9v^4-63) \le 0 \iff 3v^4-2v^2-63 \ge 0 \iff (v^2-3)(3v^2+7) \ge 0 \implies v^2 \ge 3 \implies u^2 \ge v^2 \ge 3 \implies x+y+z \ge 3\sqrt{3}$

Answer 2

Set $a=e^x,b=e^y,c=e^z$. Entonces tenemos que probar: $$ f(x,y,z)=\sum_{cyc}\sqrt{e^{2x}-1}\geq 3\sqrt{3}\tag{1} $$ con las limitaciones de la $x,y,z\geq 0$$x+y+z= 3\log 2$. Obviamente $x=y=z=\log 2$ es de un punto fijo (un mínimo local) por $f$ sobre el dominio dado y $f(\log 2,\log 2,\log 2)=3\sqrt{3}$. Las soluciones de $$ \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-1}}=\lambda \tag{2}$$ para $\lambda\geq 2$, están dadas por $e^x=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\lambda^2\pm \lambda\sqrt{\lambda^2-4}}$, lo $\sqrt{e^{2x}-1}=\frac{\lambda\pm\sqrt{\lambda^2-4}}{2}$. Mediante el estudio de todas las posibles posibilidades de $(\pm,\pm,\pm)$ (que no son muchos, hasta simetría) es que no es difícil ver que $(x,y,z)=(\log 2)\cdot(1,1,1)$ es un mínimo global para el interior del triángulo. Después de eso, sólo tenemos que estudiar los límites del triángulo (un lado es suficiente, siempre por simetría), sino que es el mismo problema con dos variables, el camino más fácil. Por poner las cosas en conjunto, tenemos que en el punto anterior, es un mínimo global como quería.