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Ejemplos de categorías de la forma $\operatorname{Hom}(X,-)$ o $\operatorname{Hom}(-,X)$

La motivación

Deje $\mathcal{C}$ ser la categoría de conmutativa unital anillos, y deje $R \in \mathcal{C}$. La categoría de conmutativa unital R-álgebras puede ser definido de la siguiente manera:

  • Objetos: morfismos de $\mathcal{C}$ de la forma $R \to A$
  • Morfismos: conmutativa triángulos en $\mathcal{C}$ de la forma $\begin{array}{ccc} R & \to & A\\ & \searrow & \downarrow \\ & & B \end{array}$

Pregunta

Es esta construcción útil en general? Hay otros ejemplos de la anterior construcción (o su doble) produciendo un útil/interesante/categoría conocida, si dejamos $\mathcal{C}$ ser alguna categoría distinta de $\operatorname{CRing}$?

4voto

CC0607 Puntos 604

Estas construcciones que generalmente se conocen como rebanada categorías son muy útiles, y son casos especiales de coma categorías. Toneladas de objetos matemáticos satisfacer propiedades universales que se reducen a una inicial o terminal de objeto en alguna coma categoría.

Elaborar, vamos a $\mathcal{C}$ ser una categoría y deje $A$ ser un objeto de $\mathcal{C}$. Luego nos formulario de la coslice categoría $(A\downarrow\mathcal{C})$ cuyos objetos son morfismos $f:A\to X$$\mathcal{C}$, y cuyos morfismos: $$(f:A\to X)\xrightarrow{\ \phi \ }(g:A\to Y)$$ son morfismos $\phi:X\to Y$ tal que $\phi\circ f=g$. Si $i:A\to Q$ es la inicial en esta categoría, entonces eso significa que para cada objeto $f:A\to X$, hay un único mapa $\phi:Q\to X$ tal que $f=\phi\circ i$. Así, en estas categorías, los primeros objetos tienden a capturar la noción de una única factorización de mapas, que aparece en todas partes.

He explicado la característica universal del cociente espacios desde este punto de vista en esta cuestión.

Usted puede encontrar un par de ejemplos más de coma categorías aquí.

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