Calcular la suma de alternando serie armónica entre $7/12$y $47/60$

Question

Cómo puedo probar que: $$\frac{7}{12} < \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} < \frac{47}{60}$ $

? Ni siquiera sé cómo empezar a resolver esto...

Answer 1

Primera nota que la serie converja con Prueba de Leibniz.

A continuación, indica que $S_N$ la suma parcial $\sum_{n=1}^N\frac{(-1)^{n-1}}{n}$. Entonces, debemos tener %#% $ #%

Por último, vemos que $$S_{2N}<\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}<S_{2N+1}$ y si el siguiente término es positivo, el valor de la serie debe exceder $\sum_{n=1}^4 \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\frac{7}{12}$. Del mismo modo, vemos que $7/12$ y si el siguiente término es negativo, el valor de la serie debe ser menos de $\sum_{n=1}^5 \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\frac{47}{60}$.

Answer 2

Si $s_{n}:=\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{k}$ $\left(s_{2n-1}\right)_{n=1,2,\dots}$ es monótonamente decreciente y $\left(s_{2n}\right)_{n=1,2,\dots}$ es Monótonamente creciente.

Este $s_{2n}<s_{2n-1}$.

Así que si usted puede encontrar algunos $n$ $\frac{7}{12}<s_{2n}<s_{2n-1}<\frac{47}{60}$ entonces estás listo.

Answer 3

Sugerencia de que su suma es integración de $\int (1+x)^{-1}$ después de integración ponga $x=1$. Así que la serie converge a $\ln(2)$

Answer 4

La manipulación $$\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^{n}}{n+1} = \int_{0}^{1}\sum_{n\geq 0}(-1)^n x^n\,dx = \int_{0}^{1}\frac{dx}{x+1} = \int_{0}^{1}\frac{dx}{2-x}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+1)\,2^{n+1}}$ $ da un impulso importante de convergencia y suma de partes da un segundo impulso: $$ \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+1) 2^{n+1}} = 1-\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+1)(n+2)2^{n+1}}\tag{1} $ $ evaluando $\sum_{n=0}^{4}\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}$ y $1-\sum_{n=0}^{3}\frac{1}{(n+1)(n+2)2^{n+1}}$ tenemos la mayor desigualdad:

$$ \color{red}{\frac{661}{960}}\leq \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{n+1}\leq\color{red}{\frac{667}{960}}.\tag{2}$$