Integral $\int_0^4 \int_\sqrt{y}^2 y^2 {e}^{x^7} \operatorname d\!x \operatorname d\!y\,$

Question

Tengo que evaluar esta integral:

$$ \int_0^4 \int_\sqrt{y}^2 y^2 {e}^{x^7} \operatorname d\!x \operatorname d\!y\, $$

No tengo ni idea de qué hacer con $\;{e}^{x^7}$ .

Incluso he probado $\int{e}^{x^7} dx$ con WolframAlpha , pero me da algo con $\;\Gamma\;$ y no sé qué hacer con eso.

Intenté posar $\;u = x^7\;$ y haciendo otro cambio de variables. Obtuve $\;445 {e}^{128}/9408\;$ pero no estoy muy seguro de ello.

¡Si alguien pudiera al menos indicarme la dirección correcta, sería genial! Gracias.

Answer 1

El intercambio del orden de integración se justifica por el teorema de Fubini:

$$ \int_0^4 \int_\sqrt{y}^2 y^2 {e}^{x^7} dxdy=\int_0^2\int_0^{x^2}y^2 {e}^{x^7} dydx=\frac 1 3\int_0^2 x^6{e}^{x^7} dx=\frac1{21}{e}^{x^7} \bigg|_0^2=\frac {{e}^{2^7}-1}{21} $$

Answer 2

Cambiar el orden de integración; esto lleva a

$$\int_0^2 \int_0^{x^2} y^2 e^{x^7} dy dx = \frac 1 3\int_0^2 x^6 e^{x^7} dx$$

que es una integral fácil.