resolver la ecuación diferencial.
$$\frac{xdx+ydy}{xdy-ydx}=\sqrt{\frac{a^2-x^2-y^2}{x^2+y^2}}$$
La pregunta es de papel de examen de entrada IIT. He intentado sustituir $x^2=t\ and \ y^2=u$ pero fue un no vale la pena probar.
Gracias de antemano.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta pregunta es un poco de una pesadilla para un examen de ingreso. De todos modos, primero observar que $$d(x^2 + y^2) = 2xdx + 2ydy$$ This suggests that using a variable $u = x^2 + y^2$ es útil, como también tenemos el lado derecho (lado derecho)
$$RHS = \sqrt{\frac{a^2 - u}{u}}$$
El denominador en el lado izquierdo (lado izquierdo) es un poco más complejo; el signo menos sugiere un derivado de la $1/x$. Vamos a tratar de $v = y/x$, $$dv = \frac{1}{x} dy - \frac{y}{x^2} dx$ $
Por lo tanto $x^2 dv = xdy - ydx$ y podemos escribir la LHS
$$LHS = \frac{x dx + y dy}{x dy - y dx} = \frac{1}{2x^2} \frac{du}{dv}$$
Si podemos escribir la $x^2$ términos de $u$ $v$ tendremos una ODA en tan sólo aquellas variables: $$ \frac{1}{v^2 + 1} = \frac{x^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2}{u} \ \ \hbox{ hence } \ x^2 = \frac{u}{v^2 + 1}$$ por Lo tanto podemos escribir
$$LHS = \frac{v^2 + 1}{2u} \frac{du}{dv} = RHS = \sqrt{\frac{a^2 - u}{u}}$$
o
$$\frac{du}{dv} = 2\sqrt{u(a^2 - u)} . \frac{1}{v^2 + 1}$$
Esta ecuación es separable
$$\int \frac{du}{\sqrt{u(a^2 - u)}} = 2\int \frac{dv}{v^2 + 1}$$
...después de un poco de trabajo,
$$\arctan\left( \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{a^2 - u}} \right) = \arctan v + C$$
o en la espalda en las variables originales:
$$\arctan\left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \right) = \arctan\left(\frac{y}{x} \right) + C$$
