resolver

Question

resolver la ecuación diferencial.

$$\frac{xdx+ydy}{xdy-ydx}=\sqrt{\frac{a^2-x^2-y^2}{x^2+y^2}}$$

La pregunta es de papel de examen de entrada IIT. He intentado sustituir $x^2=t\ and \ y^2=u$ pero fue un no vale la pena probar.

Gracias de antemano.

Answer 1

Esta pregunta es un poco de una pesadilla para un examen de ingreso. De todos modos, primero observar que $$d(x^2 + y^2) = 2xdx + 2ydy$$ This suggests that using a variable $u = x^2 + y^2$ es útil, como también tenemos el lado derecho (lado derecho)

$$RHS = \sqrt{\frac{a^2 - u}{u}}$$

El denominador en el lado izquierdo (lado izquierdo) es un poco más complejo; el signo menos sugiere un derivado de la $1/x$. Vamos a tratar de $v = y/x$, $$dv = \frac{1}{x} dy - \frac{y}{x^2} dx

Por lo tanto $x^2 dv = xdy - ydx$ y podemos escribir la LHS

$$LHS = \frac{x dx + y dy}{x dy - y dx} = \frac{1}{2x^2} \frac{du}{dv}$$

Si podemos escribir la $x^2$ términos de $u$ $v$ tendremos una ODA en tan sólo aquellas variables: $$\frac{1}{v^2 + 1} = \frac{x^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2}{u} \ \ \hbox{ hence } \ x^2 = \frac{u}{v^2 + 1}$$ por Lo tanto podemos escribir

$$LHS = \frac{v^2 + 1}{2u} \frac{du}{dv} = RHS = \sqrt{\frac{a^2 - u}{u}}$$

o

$$\frac{du}{dv} = 2\sqrt{u(a^2 - u)} . \frac{1}{v^2 + 1}$$

Esta ecuación es separable

$$\int \frac{du}{\sqrt{u(a^2 - u)}} = 2\int \frac{dv}{v^2 + 1}$$

...después de un poco de trabajo,

$$\arctan\left( \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{a^2 - u}} \right) = \arctan v + C$$

o en la espalda en las variables originales:

$$\arctan\left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}} \right) = \arctan\left(\frac{y}{x} \right) + C$$