Serie infinita de nth raíz de n factorial

Question

Por qué esto no es correcto: $$\begin{align} \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n!} &= \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots(1)} \\ &=\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n} \cdot \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n-1} \cdot \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n-2}\cdots \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1} \\ &=1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 \\ &=1 \end {Alinee el} $$ por lo tanto, $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n!}=1$.

Está claro que $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}= 1$ como y que $n! = n(n-1)!$

Sin embargo wolframalpha me da infinito como límite y no $1$!

Si tienes de Rudin principios de análisis matemático vea teorema $3.3$ c) y Teorema $3.20$ c)

Answer 1

Tenga en cuenta: $\lim_{n \to \infty} 1 = \lim_{n\to \infty} (1/n + \cdots + 1/n) = \sum \lim_{n \to \infty} 1/n = \sum 0 = 0$ y comparar con lo que hizo. ¿Entiende por qué su segundo "igualdad" no es correcta?

Answer 2

Una manera fácil de abordarlo es aproximación de Stirling: $n! \approx (\frac ne)^n\sqrt{2 \pi n}$ % que $n!^{\frac 1n} \approx \frac ne \to \infty$

Answer 3

Para resolver este límite
(1) que el límite igual $L$
(2) tomar $\ln$ para ambos lados
(3) viaje $\ln$ y $\lim$ y simplificar la función suma de números términos
(4) aplicar la regla de L'Hopital término por término
(5) y $$\ln L=1+1+1...=\infty\\ L=\infty$ $
Tu solución: El número de términos es n y n va al infinito y la multiplicación de uno infinitamente muchas veces no es uno.