Que $\psi$ ser una wavelet. ¿Su Fourier transforma $\hat{\psi}$ puede también wavelet?

Question

Que $\psi$ ser una wavelet. ¿Su Fourier transforma $\hat{\psi}$ puede también wavelet? producir un ejemplo o demostrar que no es posible. Una wavelet es una función $\psi:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que (i) $\psi \in L^1(R) \cap L^2(R)$, (ii) $\int_{-\infty}^{\infty} \psi(t) dt = 0$, transformada de Fourier es $\hat f(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt$.

Answer 1

$f(x)=\sin(x)\cdot\exp(-x^2)$ debe hacer, porque:

• Asegúrese de que el decaimiento de $f$ $f,\hat{f}\in L^1\cap L^\infty$.
• $f$ es impar $f(-x)=-f(x)$.
• $\hat{f}(-\xi)=\int_{-\infty}^\infty e^{-ix(-\xi)}f(x)dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-i(-x)\xi}f(x)dx=\int_{\infty}^{-\infty} e^{-it\xi}f(-t)(-dt)=-\hat{f}(\xi)$ donde en el último paso hemos utilizado que $f$ es raro.

Edición: Si $g$ es integrable y luego impares $$\int_{-\infty}^0g(x)dx =\int_{-\infty}^0-g(-x)dx=\int_{+\infty}^0g(t)dt=-\int_0^{+\infty}g(t)dt$ $ por lo tanto % $ $$\int_{-\infty}^\infty g(t)dt = 0.$esto implica que % $ $$\int_{-\infty}^\infty f dx= \int_{-\infty}^\infty\hat{f}d\xi=0$