Límite infinito de series trigonométricas

Question

El valor de $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sin^4x+\frac{1}{4}\sin^4(2x)+\cdots+\frac{1}{4^n}\sin^4(2^nx))$ es

(A) $\sin^4x$

(B) $\sin^2x$

(C) $\cos^2x$

(D) no existe

Mi intento: $$\lim_{n\to\infty}(\sin^4x+\frac{1}{4}\sin^4(2x)+\cdots+\frac{1}{4^n}\sin^4(2^nx))=$$ $$=(\sin^4x+\frac{1}{4}16\sin^4x\cos^4 x+\cdots+\frac{1}{4^n}\sin^4(2^{n-1}x)\cos^4(2^{n-1}x)$$

yo no podía resolver más.Cualquier sugerencia será útil.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\sin^2y-\sin^4y=\sin^2y(1-\sin^2y)=\dfrac{\sin^22y}4$$

$y=x\implies$ $$\sin^2x-\sin^4x=\dfrac{\sin^22x}4$$

$y=2x\implies$ $$\dfrac{\sin^22x-\sin^42x}{4^1}=\dfrac{\sin^22x}{4^2}$$

Set $y=4x,2^rx$ y añadir a conseguir

$$\sin^2x-\sum_{r=0}^n\dfrac{\sin^4(2^rx)}{4^r}=\dfrac{\sin^4(2^{n+1}x)}{4^{n+1}}$$

$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin^4(2^{n+1}x)}{4^{n+1}}=0$$

Answer 2

Sugerencia: tenga en cuenta que $\sin^2 \theta - \sin^4\theta = \sin^2\theta(1-\sin^2\theta) = \sin^2\theta\cos^2\theta = \dfrac{1}{4}\sin^2 2\theta$.

Por lo tanto, $\sin^4\theta = \sin^2\theta - \dfrac{1}{4}\sin^2 2\theta$.

La aplicación que aquí nos da $\dfrac{1}{4^k}\sin^4(2^k x) = \dfrac{1}{4^k}\sin^2(2^k x) - \dfrac{1}{4^{k+1}}\sin^2(2^{k+1}x)$.

Así, tenemos que calcular el límite de $\displaystyle\sum_{k = 0}^{n}\dfrac{1}{4^k}\sin^4(2^k x)$ $=\displaystyle\sum_{k = 0}^{n}\left[\dfrac{1}{4^k}\sin^2(2^k x) - \dfrac{1}{4^{k+1}}\sin^2(2^{k+1}x)\right]$.

Esta es una suma telescópica.

Answer 3

$$\begin{align} \sin^2 (x) - \sin^4(x) &= \sin^2 (x) \cos^2(x) = \frac14 \sin^2(2x), \\ \frac14 \sin^2 (2x) - \frac14 \sin^4(2x) &= \sin^2 (2x) \cos^2(2x) = \frac{1}{4^2} \sin^2(4x),\\ &\cdots \\ \frac{1}{4^{n}} \sin^2 (2^{n}x) - \frac{1}{4^{n}} \sin^4(2^{n}x) &= \sin^2 (2^{n}x) \cos^2 (2^{n}x)= \frac{1}{4^{n+1}} \sin^2(2^{n+1} x). \end{align} $$ Así , el límite de $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}(\sin^4x+\frac{1}{4}\sin^4(2x)+\cdots+\frac{1}{4^n}\sin^4(2^nx)) &= \lim_{n\to\infty}\left( \sin^2 (x) - \frac{1}{4^{n+1}} \sin^2(2^{n+1} x) \right) \\ &= \sin^2 (x) . \end{align}$$

Si usted no sabe esto. Para tu pregunta de opción múltiple:

1. Set $x = 0$. el límite (si existe) es $0$, por lo que C es falsa.
2. Para todos $n$, $|\frac{1}{4^n}\sin(2^n x)| \leqslant \frac{1}{4^n}$ , por lo tanto por el teorema de convergencia dominada, la secuencia converge uniformemente a una sigue la función, decir $g(x)$. D es falsa.
3. Elegir un $x_0 \in (0,\frac{\pi}{2})$ tal que $\frac13 <\sin^4(2x_0) < 1$, $\frac14 \sin^4(2x_0)$ es estrictamente superior a la suma del valor absoluto del resto de los términos (que existe desde que la serie es absolutamente convergente y es inferior a la de $\frac{1}{12}$ por una simple comparación). Por lo $|g(x_0) - \sin^4(x_0)| \geqslant \frac14 \sin^4(2x_0) - \sum|\mbox{rest of the terms}| > 0$. Así que a es falso.

Por lo tanto, B es la única opción correcta.

Answer 4

Solución sencilla, sin ningún cálculo

En primer lugar, el límite existe porque el valor absoluto de los términos que están delimitadas por una progresión geométrica, por lo que las sumas parciales forman una secuencia de Cauchy y por lo tanto converge. En segundo lugar, la sustitución de $x = \frac{π}{2}$ $x = \frac{π}{4}$ elimina la errónea respuestas de inmediato.