Puedo observar que más de la mitad de la superficie de un objeto convexo en una vista?

Question

En un corte de escena en una película, un testigo informó de que él tenía los ojos contacto con "el autobús entero" durante un evento. Un abogado desafió esta declaración, diciendo:"sólo se puede observar al lado del bus que está mirando hacia usted, que nunca puede superar el 50%". Esto me puso a pensar:

Es cierto que uno nunca puede ver más de la mitad de la superficie de cualquier convexo objeto 3D al mismo tiempo (sin el uso de dispositivos ópticos como los espejos)? Mi pensamiento es que sí, ya que si el objeto es completa (sin agujeros), si tiene una pequeña área de la superficie mirando en la misma dirección, no debe ser otra superficie que se enfrenta la exacta dirección opuesta. Pero no puedo la prueba esta idea más allá de "intuitivo".

Tiene la superficie del objeto también tiene que ser continua?

Answer 1

Estoy asumiendo que por lo mucho que se puede ver de el objeto, es decir la superficie máxima proyectada sobre un plano. En ese caso, 2D debería ser suficiente, porque siempre se puede rotar o añadir profundidad a hacer un prisma.

Tomar un triángulo isósceles, punto abajo, proyectada sobre una línea paralela al lado opuesto (creo que de la configuración en el "suelo" y, a continuación, darle exactamente al revés). Fijar el perímetro $P = 1$. A continuación, deje que la longitud de la paralelos ser $\ell$. La longitud de los lados del triángulo que se enfrentan a la línea, a continuación, $1- \ell$ y la fracción que se enfrenta la línea de es $\frac{1- \ell}{1}$. Como hacer $\ell$ más pequeño, más y más a $100%$% del triángulo de ser "visto" por la línea.

Reemplazar el triángulo con un cono y todavía funciona. Así que por un muy "fuerte" de cono, usted puede ver casi a $100%$% de la misma (si usted está exactamente frente al punto).