Encontrar el centro de masa de un triángulo con densidad variable

Question

Mi objetivo:

Encuentre el centro de masa de una placa triangular delgada delimitada por el eje y y las líneas $y= 7x+3$ y $y= 36-4x$ . Supongamos que la densidad viene dada por $\delta(x,y) = 7x+2y+2$ .

En clase nos dieron la fórmula $\bar x = \frac{\iiint_V x\delta dV}{\iiint_V \delta dV}$ para encontrar el centro de x, así que lo configuro como $\bar x = \frac{\int_{0}^{3}\int_{0}^{36} x(7x+2y+2)\,dydx}{\int_{0}^{3}\int_{0}^{36} (7x+2y+2)\,dydx} = \frac{156}{97}$ pero eso no es correcto.

¿Este enfoque es erróneo o me he equivocado en alguna parte?

Answer 1

Estaba tomando la integral de un rectángulo cuando debería haberla tomado sobre el triángulo.

Como resultado, los límites internos deben ser cambiados y la integral correcta es $\bar x = \frac{\int_{0}^{3}\int_{7x+3}^{36-4x} x(7x+2y+2)\,dydx}{\int_{0}^{3}\int_{7x+3}^{36-4x} (7x+2y+2)\,dydx}$