Supongamos que $x_1$ y $x_2$ son dos puntos uniformemente distribuidos del cubo unitario $(0,1)^3$ ¿Cuál es la distribución de la distancia entre $x_1$ y $x_2$ ? Hice una simulación rápida y encontré que la curtosis de esta distribución es de 2,5, menor que 3. ¿alguien puede ayudarme con una forma cerrada del pdf? gracias.
Respuestas
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Este es un problema tan natural para estudiar que me gustaría comprobar si se ha hecho antes, y parece que sí:
"Sobre la distribución de la distancia entre dos puntos en un cubo" por Antanas Žilinskas, Random Operators and Stochastic Equations, Volume 11, Issue 1, Pages 21-24, March 2003. Resumen: Estamos interesados en la distribución de la distancia entre dos puntos aleatorios en un cubo. Es bien sabido que la derivación de las fórmulas de la función de distribución de interés implica problemas de integración que son casi intratables. Demostramos que el problema puede resolverse con éxito utilizando una herramienta de cálculo simbólico.
No he podido encontrar el periódico de forma gratuita en Internet.
También he encontrado lo que parece una prueba de exactamente lo mismo en http://www.degruyter.com/view/j/rose.2000.8.issue-4/rose.2000.8.4.339/rose.2000.8.4.339.xml . También está detrás de un muro de pago. Es tentador ver parte de la respuesta en la primera página del documento, que se muestra en esa URL.
Este documento era gratuito en línea: "LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ALEATORIOS EN UNA BOX", publicado en http://www.math.kth.se/~johanph/habc.pdf , que en realidad responde al problema más difícil con una caja con lados no necesariamente iguales. Esto sería más difícil de usar, pero más fácil de conseguir gratis de inmediato.
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No he visto un resultado explícito para esto, pero puedo esbozar los pasos que puedes usar para obtener la solución analítica - es algo complicado, y como esto es una tarea, no lo derivaré aquí.
En primer lugar, reconoce que la variable aleatoria que quieres es la siguiente, para dos puntos tridimensionales $p_1,p_2$ :
$D(p_1,p_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$ Donde $x,y,z\sim U(0,1)$
Podemos derivar la distribución en partes, a partir de las diferencias de cada componente:
- La diferencia de dos uniformes estándar tiene una distribución triangular estándar
- El cuadrado de la distribución triangular estándar (S), tendrá cdf: $P(S\leq t) = 2F_{Tri}(\sqrt{t})-1,t\geq0$ donde $F_{Tri}$ es la FCD de la distribución triangular estándar.
- Esta es la parte molesta: hay que tomar la convolución de la suma de tres variables aleatorias distribuidas según S, arriba. Como la distribución triangular no es una función suave, habrá que tratarla a trozos.
- Después del paso 3, tendrá la distribución de $D^2$ , por lo que se puede obtener la distribución de D reconociendo que $P(D\leq d)= P(D^2\leq d^2)$ ya que ambas distribuciones tienen dominios no negativos.
Espero que eso ayude. Diviértete...
