Soluciones para $\frac{3}{x+1}\le\frac{2}{2x+5}$

Question

Estoy en la búsqueda de las soluciones para:

$$\frac{3}{x+1}\le\frac{2}{2x+5}$$

Así que primero traté de combinar los dos sitios:

$$\frac{6x + 15 - 2x + 2}{2x^2 +7x + 5}\le{0}$$

$$\frac{4x + 17}{2x^2 +7x +5}\le{0}$$

Mi problema es que ahora tengo dos soluciones para el denominador y no sé cómo continuar:

$2x^2+7x+5 = -1 \text{ and } -2.5$

La solución debe ser: $(-2.5;-1) \cup (-\infty;-3.25)$

Answer 1

Equivalentemente, se puede usar de esta manera, si usted quiere. Se dibuja una tabla como la siguiente. Cada fila es para un término en el numerador y en el factor denominador. Me refiero $4x+13$; $x+5/2$ y $x+1$. A continuación, poner las raíces de estos términos en la parte superior de la tabla como se puede ver desde la pequeña a la grande. Ahora hacer algunas $+$ $-$ en las cajas para identificar el signo de los términos en que subintervalos. Finalmente, encontrar la señal en la principal fracción en cada columna, como se puede ver y seleccionar la subinterval en el que la fracción es negativa. Esto es muy similar a la de @lab enfoque.

Answer 2

Si se supone asumir $2x+5>0$ $x+1>0$ acabar con :$$3(2x+5)\leq 2(x+1)$$

$$3(2x+5)\leq 2(x+1)\Rightarrow 6x+15\leq2x+2\Rightarrow 4x\leq -13\Rightarrow x\leq??$$

Supongamos que asumimos $x+1$ es positivo, entonces acabaríamos con la conclusión anterior (¿por Qué??)

Supongamos que asumimos $2x+5$ es positivo pero $x+1 <0$???

Por favor, hazlo por ti mismo :)

Answer 3

SUGERENCIA:

$$\frac{4x+13}{2x^2+7x+5}=0\implies 4x+13=0$$

$$\frac{4x+13}{2x^2+7x+5}<0 \iff (4x+13)(2x^2+7x+5)<0$$

$$\iff(4x+13)(2x+5)(x+1)<0\iff\left(x+\frac{13}4\right)\left(x+\frac52\right)(x+1)<0$$

Por lo tanto, tenemos un número impar de factor(es) a $<0$

Answer 4

Escribir $$\frac{3}{x+1}-\frac{2}{2x+5}=\frac{4x+13}{\left(x+1\right)\left(2x+5\right)}\leq0$$ Hay 'especial', los valores de $-1,-2.5$$-3.25$, si uno de los factores en el numerador o el denominador se le pide a igualar $0$.

Pregúntate a ti mismo: ¿Cuál es el signo de esta fracción si me llene en un valor de $x>-1$ o $-2.5<x<-1$ o $-3.25<x<-2.5$ o $x\leq-3.25$? Las respuestas a estas preguntas conducen a la respuesta final.

Answer 5

El primer problema es que la diferencia de los dos lados es $$ \begin{align} \frac{6x+15-2x\color{#C00000}{-}2}{(x+1)(2x+5)}=\frac{4x+\color{#C00000}{13}}{(x+1)(2x+5)}\le0 \end{align} $$ Así que hay tres puntos a tener en cuenta: $-\frac{13}{4}$, $-\frac52$, y $-1$.

A la izquierda de los tres puntos, los tres términos, $4x+13$, $x+1$, y $2x+5$, son negativos.

Entre el$-\frac{13}{4}$$-\frac52$, sólo dos términos son negativos.

Entre el$-\frac52$$-1$, sólo un término es negativo.

A la derecha de los tres puntos, ninguno de los términos son negativos.

Tenga en cuenta que todos los finitos de los extremos debe ser cerrado, no abierto, donde no se dividen por $0$: $$ \estilo de texto\left(-\infty,-\frac{13}{4}\right]\cup\left(-\frac52,-1\right) $$