Teorema de la separación

Question

¿Es cierto que dado un espacio vectorial real $X$ y dos conjuntos convexos disjuntos $A,B\subseteq X$ ¿hay siempre un funcional lineal que los separa (débilmente)? Es decir, ¿existe un funcional lineal no nulo $\phi\colon X\to \mathbb R$ y un $\gamma\in\mathbb R$ , de tal manera que $\phi(a)\le \gamma \le \phi (b)$ para todos $a\in A$ y $b\in B$ ? Si no es así, ¿puede dar un contraejemplo?

Sé que la afirmación es cierta si se añade la hipótesis adicional de que al menos uno de los conjuntos tiene un punto interno. Esto se deduce del teorema de Hahn-Banach utilizando el funcional de Minkowski, pero me preguntaba si esta hipótesis es necesaria.

Answer 1

La respuesta es no. He aquí un contraejemplo elaborado:

Dejemos que $X=c_{00}$ (el espacio de las secuencias de valor real que son eventualmente cero).

Dejemos que $A$ el subconjunto de $X$ de todas las secuencias cuya última entrada no nula es positiva (la secuencia nula no está en $A$ ).

Dejemos que $B= \{0\}$ .

Claramente $A\cap B=\varnothing$ y ambos $A$ y $B$ son convexos, por lo que la hipótesis se cumple.

Ahora, supongamos que tenemos un funcional lineal separador $\phi:X\to \mathbb R$ . Es claramente cero en $B$ . Supongamos que tenemos $a\in A$ , de tal manera que $\phi (a)>0$ . Dejemos que $N$ sea el índice de la última entrada no nula de $a$ . Modificando ligeramente el $N+1$ entrada de $-a$ obtendremos un elemento $a'\in A$ , de tal manera que $\phi (a')<0$ contradiciendo la propiedad de separación. Lo mismo ocurre si tenemos $a\in A$ con $\phi (a)<0$ . Por lo tanto, $\phi$ debe ser cero en $A$ y por lo tanto en $X$ .

Answer 2

La respuesta es no en general. Poner $X:=\ell^1(\mathbb N^*)$ , $$\begin{align} A_0 &:=\{x=\{x_n\}\in X, \forall n\geq 1, x_{2n}=0\},\\ B &:=\{x=\{x_n\}\in X, \forall n\geq 1, x_{2n}=2^{-n}x_{2n-1}\}.\end{align}$$

Dejemos que $c\in X$ dado por $c_{2n-1}=0$ y $c_{2n}=2^{-n}$ . Entonces $c\notin A_0+B$ y poniendo $A:=A_0-c$ observamos que $A$ y $B$ son dos subconjuntos cerrados y disjuntos que no se pueden separar débilmente.

Answer 3

Considere $X=l_2(\mathbb{N})$ , toma $$ A=c_{00}(\mathbb{N}) $$ $$ B=A+(2^0,2^{-1},\ldots,2^{-n},\ldots) $$ Es fácil comprobar que $A$ , $B$ son subconjuntos densos convexos disjuntos con el interior vacío. Como son densos en $X$ No se pueden separar.

Answer 4

Puede encontrar un contraejemplo en $\mathbb R^2$ . Sea $A=\{(x,y): y\leq 0\}$ y que $B$ sea el conjunto convexo cerrado sobre la gráfica de $e^x$ . Desde el $d(A,B)=0$ no se pueden separar.