Una espiral basada en la secuencia de enteros divisores. Nadie ha notado esto antes?

Question

En primer lugar, por favor, disculpe el estilo informal de mi explicación, como no soy un matemático, aunque soy consciente de que esto puede ser explicado en términos más prácticos.

Me han asignado los números enteros a los puntos en un círculo en el plano complejo de la siguiente manera: $$ a_n=\prod _{j=1}^n (-1)^{2 (n \bmod j)/j} $$ Entonces tomé una secuencia de sumas parciales de $a_n$: $$ b_n=\sum _{j=1}^n a_j $$ Pienso en él como un camino que se hizo de los vectores de longitud 1 en el plano complejo. Yo entonces trazado $b_n$, y vi esta hermosa vid-como la forma de:

(para $n <= 45000$)

(para $n <= 1000$)

El camino que va hacia la derecha, luego a la vuelta acelera hasta que se convierte en sentido antihorario y se mueve a otra parte. Con el fin de averiguar más acerca de los "remolinos" y "flujos pico", he comprobado las diferencias entre términos consecutivos de $a_n$, y se obtuvo el siguiente diagrama:

Los mínimos/"flujos pico" otoño en $n = 1, 4, 11, 30, 83, 226, ...$, lo que parece corresponder a http://oeis.org/A078141y para ser dada por $$\left\lfloor e^{n-\gamma }\right\rfloor$$ I have checked that the "whirlpools" appear to correspond to $$\left\lfloor e^{n - \gamma + 1/2}\right\rfloor$$ I think this would mean that each branch of the vine is $e$ veces más grande que la anterior de alguna manera...

Como para la posición de los "flujos pico" en el plano complejo, que son: $$ 1.,0.5\, +0.866025 yo,0.695702\, +1.84669 yo,1.28152\, +1.03625 yo,1.75407\, +1.91755 yo $$

para $n = 1, 4, 11, 30, 83$.

Aquí es un gráfico de los valores absolutos de $b_n$:

Aquí está una parcela matriz de distancias entre los términos de $a_n$$n <= 100$, sólo por diversión, realmente:

Tengo un montón de preguntas:

• Como por el título. Es esto algo que se ha notado antes?
• ¿Por qué los "remolinos" de otoño, donde lo hacen en el plano complejo? Lo que es especial acerca de los valores?
• Es cada término de $a_n$ único? Si es así, es posible que exista una forma de aprender algo acerca de los divisores de a $n$ $a_n$ o $b_n$?

Answer 1

Para la primera pregunta: Usted puede ser capaz de encontrar algunos resultados similares en exponencial sumas en el libro "Diez lecciones sobre la Interfaz Entre la Teoría Analítica de números y el Análisis Armónico," por Montgomery. También, Noam Elkies tiene una imagen similar en la parte de su teoría analítica de números supuesto.

Para la segunda pregunta: "¿por Qué los remolinos que se producen en el lugar donde hacen?" Primero, vamos a simplificar el problema un poco: para evitar la confusión con respecto a qué usuario root para usar en la definición de $a_n$, tome $a_n=\prod_{j=1}^n e^{2\pi i(n\pmod{j})/j}$ Ahora, observa que: $a_{n+1}=a_n\cdot e^{\frac{2\pi i n}{n+1}}\cdot\prod_{j=1}^{n+1}e^{2\pi i/j}=a_n\cdot e^{\frac{-2\pi i }{n+1}}\cdot\prod_{j=1}^{n+1}e^{2\pi i/j}$ (si usted quisiera escribir una prueba de esta observación, " deja un comentario, y voy a añadir). Luego, por inducción y el hecho de que $a_1=1$, obtenemos la fórmula explícita: $a_n=\prod_{m=0}^{n-2}\prod_{j=1}^{m+1}e^{\frac{2\pi i}{j}}$, que podemos simplificar hacia abajo para: $$a_n=\exp(2\pi i nH_n)$$ where $H_n=\sum_{j=1}^n\frac{1}{j}$. Then we may compute $a_{n+1}-a_n=\exp(2\pi i(n+1)(\frac{1}{n+1}+H_n)-\exp(2\pi inH_n)$ $=\exp(2\pi inH_n)\exp(2\pi iH_n)-\exp(2\pi inH_n)=a_n(\exp(2\pi i H_n)-1)$

Tenga en cuenta que una bañera de hidromasaje corresponderá a la más pequeña posible cambio $|a_{n+1}-a_n|$: estamos en busca de lugares donde la adición de términos consecutivos no cambia las cosas por mucho. Así, utilizando la aproximación $H_n\approx \log n+\gamma$ amablemente señaló Marc Pablo en los comentarios de arriba, obtenemos que los mínimos locales de $|a_{n+1}-a_n|$ debe ocurrir cerca de las $\exp(2\pi i (\log(x)+\gamma))=1$ es decir, cuando se $\log(x)+\gamma=n$ para algunos entero $n$, y esto ocurre exactamente al $x=e^{n-\gamma}$. Esto es debido a que, a continuación, $|a_{n+1}-a_n|\approx 0$ será el más cercano a $0$ como sea posible. Del mismo modo, el "máximo de los flujos" debe estar cerca de donde $\exp(2\pi i(\log(x)+\gamma))=-1$, es decir, cerca del $x=e^{n-\gamma+.5}$, porque es ahí donde las $|a_{n+1}-a_n|\approx 2$, que es el máximo valor posible.

Advertencia: hay un poco de los asuntos pendientes por delante en la respuesta a la tercera pregunta, "Es cada término de $a_n$ único?" En resumen, no. $a_1=1=a_2$. Sin embargo, en general si $a_n=a_m$$n>m$, a continuación, utilizando nuestra fórmula para $a_n$,$\exp(2\pi inH_n)=\exp(2\pi imH_m)$, lo que implica $2\pi inH_n-2\pi imH_m=2\pi i k$ para algunos entero $k$. Entonces tenemos: $$\sum\limits_{j=1}^m\frac{n-m}{j}+\sum\limits_{j=m+1}^n\frac{n}{j}=k$$ which I suspect has no solutions other than $n=2$, $m=1$, $k=2$, pero lo que queda demostrado.