La convergencia a la mitad de la constante de Euler

Question

Euler es constante, es definido por $$\gamma=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^N\dfrac1n-\log N.$$

Así que se puede escribir como $$1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n-\log n\rightarrow \gamma.$$

¿Cómo podemos demostrar que $$1+\dfrac13+\dfrac15+\ldots+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac12\log n\rightarrow\dfrac{\gamma}{2}+\log 2?$$

Las fracciones son similares, pero cuando se saltan las condiciones, no está claro cómo se relacionan.

Answer 1

La adición y la resta de los inversos de los números enteros, uno ve que la secuencia cuyo límite está pidiendo es $$ \sum_{k=1}^{2n}\frac1k-\sum_{k=1}^n\frac1{2k}-\frac12\log n=(H_{2n}-\log(2n))-\frac12(H_n-\log n)+\log 2, $$ donde $H_k$ $k$ésimo número armónico y donde hemos utilizado el hecho de que $\log(2n)=\log n+\log2$. Desde $H_k-\log k\to\gamma$ al $k\to\infty$, esto converge a $$ \gamma\frac12\gamma+\log 2=\frac12\gamma+\log2. $$

Answer 2

Por el resultado que usted cita, podemos concluir que

$$\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdots +\frac{1}{n} -\log n \right) \rightarrow \frac{\gamma}{2}$$

Restando esta desde el límite de $1+\frac{1}{2}+\cdots + \frac{1}{2n}-\log 2n$ da el resultado deseado.