Sobre subconjuntos atómicos y sin átomos

Question

En un espacio de medidas, llamemos a un subconjunto medible sin átomos con respecto a la medida, si no tiene un subconjunto atómico . En particular, un subconjunto medible con medida cero no tiene átomos.

Puede haber subconjuntos medibles que no sean ni atómicos ni sin átomos, por ejemplo, la unión de subconjuntos atómicos y subconjuntos sin átomos con medida(s) positiva(s).

1. Me preguntaba si lo contrario es cierto, es decir, si un subconjunto medible no es ni atómico ni sin átomo, entonces debe ser la unión de subconjunto(s) atómico(s) atómico(s) y subconjunto(s) sin átomo con medida(s) positiva(s)?
2. Creo que la pregunta anterior es equivalente a si cualquier subconjunto medible puede dividirse en subconjunto(s) atómico(s) y subconjunto(s) sin átomo?

Gracias y saludos.

Answer 1

1. Al menos es cierto si la medida es $\sigma$ -finito. Esto garantiza que el espacio de medida tiene a lo sumo un número contable de subconjuntos atómicos, por lo que la unión de ellos es medible, y el complemento de esa unión tiene medida positiva y no tiene átomos. (No veo la razón por la que la unión de todos los subconjuntos atómicos tenga que ser medible en el espacio no $\sigma$ -caso finito, ni conozco un contraejemplo).
2. En el $\sigma$ -caso finito al menos, se puede aplicar el mismo razonamiento. Restringiendo la medida al $\sigma$ -que se obtiene al intersecar cada uno de los conjuntos de la $\sigma$ -con algún conjunto medible particular le da otro $\sigma$ -espacio de medida finita. Entonces se puede utilizar un método similar al anterior para obtener la partición indicada. O bien, simplemente intersecar con la partición de todo el espacio.