Ese es un comportamiento irracional.

Question

Demostrar que $2\sqrt 3+3\sqrt[3] 2-1$ es irracional

Mi intento:

$$k=2\sqrt 3+3\sqrt[3] 2-1$$

Supongamos que $k\in \mathbb Q$, entonces el $k-1\in \mathbb Q$.

$$2\sqrt 3+3\sqrt[3] 2=p/q$$

Estoy atrapado aquí y no sabe cómo proseguir. He intentado hacer esto:

$$\sqrt 3=\frac{p/q-3\sqrt[3] 2}{2}$$

contradicción, pero no estoy seguro sobre eso. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

\begin{align*} 2\sqrt 3+3\sqrt[3] 2=\frac{p}{q} &\Rightarrow 3\sqrt[3] 2=\frac{p}{q}-2\sqrt 3\\ &\Rightarrow 54=\left(\frac{p}{q}-2\sqrt 3\right)^3\\ &\Rightarrow 54=\frac{p^3}{q^3}-6\frac{p^2}{q^2}\sqrt{3}+36\frac{p}{q}-24\sqrt{3}\\ &\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{p^3+36pq^2-54q^3}{6q(p^2+4q^2)} \in \mathbb{Q}\\ \end{align*}

Answer 2

Supongo que es establecido que $\sqrt 3$ y $\sqrt[3]2$ son irracionales.

Si fuera racional $2\sqrt 3 +3\sqrt[3]2-1$, $\sqrt[3]2$ sería un elemento del campo cuadrático $\mathbf Q(\sqrt3)$, que tiene grado de $2$ $\mathbf Q$, y $\mathbf Q(\sqrt[3]2)$ sería uno de sus subcampos. Por desgracia, $[\mathbf Q(\sqrt[3]2):\mathbf Q]=3$.

Answer 3

Después desordenado álgebra*, obtenemos que $k$ es una raíz de $x^6+6 x^5-21 x^4-232 x^3-93 x^2-3486 x-2411$.

El racional de la raíz teorema nos dice que $k$ es un número entero o es irracional.

Si $k$ fueron un entero, $k$ sería un múltiplo de $2411$, debido a $2411$ es primo. Pero $0 < k < 9$$k$, por lo que no puede ser un múltiplo de $2411$.

Por lo tanto, $k$ es irracional.

(*) o después de preguntar WA.

Answer 4

Asumiendo $$\frac{p}{q}=2\sqrt{3}+3\sqrt[3]{2}$$ Usted tendrá : $$54 = (\frac{p}{q} - 2\sqrt{3})^3$$ $$= \frac{p^3}{q^3}-6\frac{p^2}{q^2}\sqrt{3}+18\frac{p}{q}-24\sqrt{3}$$ Así que, finalmente : $$54 -\frac{p^3}{q^3}-18\frac{p}{q}= -6\frac{p^2}{q^2}\sqrt{3}-24\sqrt{3} = -6 (\frac{p^2}{q^2}+4)\sqrt{3}$$ lo cual es imposible debido a $\sqrt{3}$ es irracional e $54 -\frac{p^3}{q^3}-18\frac{p}{q}$ $-6 (\frac{p^2}{q^2}+4)$ son racionales

Answer 5

A partir de su ecuación obtenemos $$\sqrt 3=\frac{p}{2q}-\frac32\sqrt[3]2$$

Tomar el poder de $2$ y establezca $u=\frac32\sqrt[3]2$ obtener $$3=\frac{p^2}{4q^2}+u^2-\frac pqu$$ Este equaion ha racional raíces sólo si $\sqrt{\Delta}$ es racional donde $$\Delta=(-\frac pq)^2-4 \times 1 \times (\frac{p^2}{4q^2}-3)=12 $$