Topológico Asignación Abierta Teorema de correspondencias entre diferentes Euclidiana dimensiones?

Question

¿Cuál es la versión topológica de la siguiente teorema?

Asignación Abierta Teorema. Deje $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ser abierto y $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^m$ continuamente una función derivable. Si para cada a $x\in\Omega$ el derivado $f'(x)$ es surjective y $U\subset \Omega$ es abierto, entonces la imagen de a $f(U)$ está abierto en $\mathbb{R}^m$.

Por lo anterior derivado de la matriz es surjective. Para una versión menos donde $n=m$ y derivados de la matriz es bijective, es decir,$\det f'(x) \neq 0$, tenemos el correspondiente Invariancia del Dominio Teorema por Brouwer que se basa en la inyectividad. Pero, ¿hay alguna similares resultados que la forma más fuerte de la Asignación Abierta Teorema?

Answer 1

Esto era demasiado largo para un comentario, no es una respuesta.

No sé de ningún análogos en arbitraria en el espacio topológico. aquí está una lista de contra-ejemplos relativamente bien educados espacios.

Lo que uno realmente necesita algún tipo de inyectividad requisito, que da el conocido resultado: $X$ compacto y $Y$ Hausdorff, un bijective mapa continuo $f:X \to Y$ está abierto (y por lo tanto un homeomorphism.)

Si usted añadir algo de estructura algebraica, usted podría recuperar el abierto de asignación teoremas para el análisis funcional y lo suficientemente agradable grupos topológicos.

Una tibia observación: si dejamos $U \subset \mathbb R^n$ ser abierto, entonces si $f: U: \to \mathbb R^m$ factores a través de la proyección de $\pi:\mathbb R^n \to \mathbb R^m$, de modo que la inducida por el mapa de $\tilde{f}:U \to \mathbb R^m$ es inyectiva, entonces $f$ es abierto, ya que es la composición de mapas abiertos.

Esperemos que alguien más puede brindar una mejor respuesta.