Un límite con el Producto y Coseno

Question

Alguien me puede ayudar por favor a encontrar el límite de esta serie:

$$\lim_{x \to 0}\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\left(1-\sqrt[k]{\cos x}\right)}{x^{2n-2}}$$

Gracias por todo :D

Answer 1

Como está escrito, el límite es cero.

$$1-(\cos{x})^{1/k} = \frac{x^2}{2 k} + O(x^4)$$

de modo que el producto es de algún factor veces $x^{2 n}$ en este límite.

Sin embargo,

$$\lim_{x \to 0}\frac{\prod_{k=1}^{k=n}1-\sqrt[k]{\cos x}}{x^{2n}} = \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{2 k} = \frac{1}{2^n n!}$$

EDITAR

Justificando el primer paso:

$$\cos{x} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$$

$$\begin{align}(\cos{x})^{1/k} &= \left ( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \right )^{1/k} \end{align}$$

Ahora uso el hecho de que $(1-z)^{1/k} = 1-\frac{z}{k}+\ldots$ y obtener

$$\begin{align}(\cos{x})^{1/k} &= \left ( 1 - \frac{x^2}{2!k} +\ldots \right )\end{align}$$

Tenga en cuenta que el primer término que me dejó afuera comienza con $x^4$. Luego de escribir, en lugar de los puntos suspensivos, $O(x^4)$ a representar el error, el cual va a cero, como se $x \rightarrow 0$. El primer paso entonces de la siguiente manera.

Answer 2

Tenga en cuenta que por elemental de los límites de $$\lim_{x \to 0}\frac{1-\sqrt[k]{\cos x}}{x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{1-\sqrt[k]{\cos x}}{\ln \sqrt[k]{\cos x}}\times \frac{1}{k}\lim_{x \to 0}\frac{\ln \cos x}{x^2}=-1\times \left(-\frac{1}{2k}\right)=\frac{1}{2k}$$ y, a continuación,

$$\lim_{x \to 0}\frac{\prod_{k=1}^{k=n}1-\sqrt[k]{\cos x}}{x^{2n}}=\prod_{k=1}^{k=n}\frac{1}{2k}=\frac{1}{2^n n!}$$

Chris.