¿Qué es un ejemplo de un objeto matemático que no es un conjunto?
El único objeto que se compone de cero objetos es el conjunto vacío, que es un conjunto por los axiomas de ZFC. Por lo tanto, todos estos objetos son conjuntos.
Los objetos compuestos de muchos de los objetos son, obviamente, los conjuntos.
¿Qué acerca de los objetos compuestos de un objeto exactamente? ¿Hay alguna que no son conjuntos?
El número dos no es un conjunto.
Los libros de texto en la teoría de conjuntos felizmente le dirá cómo usar conjuntos para representar los números, a menudo utilizando el Von Neumann esquema en el que el conjunto de $\{\{\},\{\{\}\}\}$ representa el número dos. Ellos a menudo, para mayor comodidad, incluso utilizar el símbolo $2$ a soporte para que establezca, con el entendimiento de que cada fórmula en el libro del formalismo es acerca de los conjuntos, por lo que tomar este contexto en cuenta que no hay ningún riesgo de que el símbolo $2$ a de ser malentendido, como el actual número dos.
Esto no significa, sin embargo, significa que el número dos es su teórico de la representación. Es conveniente, técnicamente útil, interesante y ser capaz de expresar el razonamiento acerca de los números en un formalismo que hizo para el razonamiento acerca de conjuntos, pero no se debe confundir el modelo de las cosas que modelos.
Es perfectamente posible razonar sobre los números sin comprometerse con la filosofía de equipaje de la teoría de conjuntos. Dentro de la lógica matemática, que es una especie de incumplimiento del supuesto de que la aritmética de Peano , en lugar de la teoría de conjuntos es el vehículo de serie para el razonamiento acerca de los números -, pero tanto más débil y el más fuerte no-conjunto de teorías para aritmetic de esto, están estudiados para diversos fines.
En particular, los de segundo orden aritmética de las obras para la formalización de grandes partes de la matemática, y aunque de segundo orden de la aritmética tiene conjuntos de los números enteros están explícitamente no se establece allí, y $\{\{\},\{\{\}\}\}$ aún no existe en esta teoría.
Creo que la respuesta depende de lo que le permiten ser un "objeto matemático". Existen colecciones de conjuntos que no son en sí, por ejemplo, juegos. Estos son los llamados adecuado de las clases. En particular, no hay ninguna tal cosa como el conjunto de todos los conjuntos.
Depende de tu fundacional punto de vista. Por ejemplo, usted puede trabajar con no-conjunto teórico fundaciones (homotopy tipo de teoría, o categóricas fundaciones, por ejemplo).
No sólo eso, sino que si usted comienza con un marco teórico, usted descubrirá rápidamente que un montón de interesantes objetos que son demasiado grandes para ser conjuntos. Por ejemplo, la clase de todos los grupos es una clase adecuada. Usted podría, sin embargo, restringir a establecer la teoría de los universos para evitar el tratamiento adecuado de las clases en la categoría de teoría.
El pensamiento de los objetos matemáticos como conjuntos, en general, puede ser contraproducente, de todos modos. Dudo que muchos la práctica de los matemáticos de atención que $1 := \{ \emptyset \}$ en algunas conjunto teórico de la construcción de los números naturales, porque esta definición es irrelevante para el uso práctico de los números naturales.
La categórica punto de vista nos dice que nos preocupamos por los objetos, porque de cómo se relacionan con otros objetos a través de morfismos; esto es, más cerca en espíritu a cómo la mayoría de los matemáticos de trabajo.
En mi respuesta voy a una lista de tres cosas que son vale la pena pensar, que la mayoría de la gente no intuitivamente considerar como conjuntos.
Símbolos
Para ampliar un poco sobre Henning la respuesta, voy a dar otro ejemplo. Símbolo No es un conjunto. Esto incluye el símbolo "2", por lo que, en un sentido estricto, "2" nunca puede ser un conjunto, aunque "2" puede ser interpretado como un conjunto en algunos modelos de algunos formales, tales como sistemas de ZFC.
Cada símbolo está diseñado y descrito en un meta-lenguaje para transmitir un significado, pero el símbolo en sí no tiene estructura intrínseca. Es sólo la interpretación del símbolo que se puede decir que tiene una estructura, y que por supuesto depende de la interpretación. En ZFC la intención de interpretación es la de que cada objeto en el conjunto teórico universo es un conjunto, pero, ¿qué acerca de los símbolos utilizados en el lenguaje de ZFC sí mismo? Usted puede codificar cada símbolo como algunas en ZFC, exactamente como usted puede codificar los conceptos de números naturales como conjuntos, pero que todavía es meramente una representación y no la cosa real, como Henning la respuesta explica.
De igual manera, considere el hecho de que cualquier prueba en ZFC es una cadena de símbolos. Una vez más se puede codificar cualquier cadena finita de símbolos como un conjunto en ZFC (o incluso como un número natural en PA) y ser capaz de realizar las operaciones habituales en las cadenas de uso adecuado de primer orden fórmulas. Pero de nuevo la codificación no es la cosa real. Y esta vez es aún más obvio que esto no puede ser la cosa real. Para que en realidad es un teorema de Gödel que cualquier suficientemente fuerte sistema formal no es totalmente capturar todo lo que es verdad acerca de sí mismo. En particular, existe un primer orden de declaración Con(ZFC) a través de ZFC que los estados "no existe una codificación de una prueba de una contradicción en ZFC.". De acuerdo a la intención de interpretación de la codificación, uno podría pensar que Con(ZFC) significa lo mismo que "ZFC es consistente" en el meta-sistema, pero no es así, ya que si ZFC tiene un modelo cuyas codificaciones de las cadenas son isomorfos a las cadenas en el meta-sistema, luego Con(ZFC) es independiente de más de ZFC. Además, es posible que ZFC es consistente, pero refuta Con(ZFC). Todo el problema radica en el hecho de que no es lo suficientemente fuerte sistema formal puede precisar su intención de interpretación, al menos en el clásico de la lógica de primer orden. Así que no es solo que las cadenas no son conjuntos, pero aún más, así que es imposible definir completamente en cualquier sistema formal (no sólo ZFC).
Urelements
Relacionado a lo anterior es la idea de que en algunos sistemas formales que no todo es un conjunto. NFU es uno de esos formal el sistema inventado por Quine, donde hay urelements que no son conjuntos, y no tiene sentido preguntar si algo es un miembro de una urelement. El concepto de urelements puede ser dijo estar motivado por la posición filosófica de no asumir un determinado tipo de estructura cuando se puede estar ausente. En los sistemas formales por lo tanto, podemos manejar objetos del mundo real sin ningún tipo de preocupación filosófica en cuanto a si son conjuntos, ya que podría ser urelements. Uno no tiene que asumir que urelements son totalmente atómica o indivisibles, en algún sentido; más bien es sólo que el sistema formal no se sabe acerca de su estructura interna.
Funciones y algoritmos
Por último, hemos funciones. Como usted probablemente sabe, en ZFC una función puede ser codificado como un conjunto de pares ordenados de su dominio y codominio de que exactamente un par con el primer elemento de $x$ cualquier $x$ en el dominio. Como antes, esta codificación no es la única forma posible, así que lo que realmente es una función? Por otra parte, nos escribe cosas como "$f(g(x) \cup y) \in z$" donde $f,g$ son funciones con dominios correspondientes y codomains, que es técnicamente imposible en pura ZFC, sino que requiere una transformación sintáctica. Esto es porque nuestra idea intuitiva de las funciones no es la codificación, aunque es más o menos capturado por la codificación. No es completamente capturado porque podemos trivialmente la concepción de la identidad de la función en el universo entero, pero que no puede ser codificado en ZFC sin el dolor de la contradicción. Ni puede ser hecho en cualquier extensión de ZFC. Por cierto se puede hacer en NFU, pero algunos podrían argumentar que los NFU es tan intuitivo como ZFC, sólo que en diferentes aspectos.
También, los algoritmos son la extensión natural de las funciones. Se inicia con la idea intuitiva de hacer algo basado en la entrada y la producción de algunas de salida, pero por lo general implican iteraciones de algún tipo. De nuevo, podemos codifican utilizando uniones de las cadenas de las codificaciones de las funciones construidas por inducción, pero es discutible que es natural. Por esta razón, hay otras notaciones ideado en la historia, tales como [escribió] cálculo lambda y μ-la recursividad y la mayoría de los intuitivamente lenguajes de programación. Ningún programador concibe el algoritmo encarnada por su programa como un conjunto bajo circunstancias normales.
Esto depende totalmente de las bases de adoptar para la teoría de conjuntos (o para las matemáticas).
Estás en lo correcto al afirmar que en ZFC que cada objeto es un conjunto. En un típico desarrollo de las matemáticas a partir de ZFC, el número natural $2$ es el conjunto $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$.
Pero también hay versiones de la teoría de conjuntos, donde existen clases como objetos formales, por ejemplo en Bernays-Gödel teoría de conjuntos. En ese caso, un ejemplo de un objeto que no es un conjunto sería la clase V de todos los conjuntos. Adecuada clases de elementos, pero nunca son elementos de otros objetos.
Otro ejemplo de una teoría que no todos los objetos son conjuntos es ZFA, o "Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos con los átomos" (como en Jech de la Teoría de conjuntos, p. 250). En este caso hay una constante que se establezca $A$ cuyos elementos son llamados "átomos" o "urelements"; todos los demás objetos son llamados "sets". Los átomos pueden ser elementos de conjuntos, pero que nunca tienen elementos en sí mismos. El axioma de extensionality se modifica de forma que sólo se aplica a los conjuntos.
Usted pregunta si un objeto ", compuesto de un objeto" es necesariamente un conjunto. Este parece ser sinónimo de un objeto "con un elemento." (Las palabras "compuesta de" sugieren fuertemente que usted está trabajando en alguna versión de la teoría de conjuntos.) En todos los sistemas que hemos mencionado, esto sólo puede ocurrir cuando ese objeto es un conjunto. Es concebible que este podría no ser el caso si usted tiene un sistema con diferentes niveles de clases, pero esto sería algo bastante alejado de la habitual versión de la teoría de conjuntos.
Usted dice que los objetos se componen de muchos objetos deben ser conjuntos. En la teoría de conjuntos con las clases, esto es claramente no es cierto. Por ejemplo, la clase universal V no es un conjunto.
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