Unidad de pelota en $C[0,1]$ no secuencialmente compacto

Question

Esta pregunta es tomado de Saxe K -a Partir del Análisis Funcional.

Mostrar que la bola unidad cerrada en $C[0,1]$ no es compacto por probar que no es secuencialmente compacto.

(Se supone que estamos usando el uniforme de la norma).

He estado trabajando en esto por la edad, pero no pude encontrar ninguna secuencia $\{f_n\}$ en la unidad de la bola de tal manera que no existe $N\in \mathbb{N}$ tal que para todos los $m,n\geq N$ tenemos que $d(f_n,f_m)>c$. Debe ser un buen ejemplo de esto, por favor que me ayude!

Answer 1

Considere la posibilidad de $f_n(t)=t^n$, $0\le t\le 1$. A continuación, $\{f_n\} \subset \overline{B(0,1)}$ (unidad cerrada de la bola), pero no se larga de $\{f_n\}$ converge en $C[0,1]$ (con el sup norma).

Answer 2

Sugerencia: cada subsequence debe convergen uniformemente a la pointwise límite, que no es continua.

A fin de tomar cualquier secuencia delimitada en $C[0,1]$ que converge pointwise a un no-función continua.