Diffeomorphic de riemann colectores y el volumen de las formas

Question

Tal vez la pregunta sea tonta, pero soy un principiante en la geometría de riemann...

Tenemos dos colectores de riemann $(M,g)$, $(\overline M,\overline g)$ y un diffeomorphism $F:M\rightarrow\overline M$ entre ellos. Si $dV_g$ $dV_\overline g$ son de riemann volumen formas de $M$ $\overline M$ respectivamente, es cierto que

$F^*(dV_\overline g)_p=det(DF_p)(dV_g)_p$

$\forall p\in M$ ?

Answer 1

Recordemos que $$DF_p : T_p M \rightarrow T_{\bar{p}} \bar{M}$$ ¿cómo define su determinante??

Sin embargo, es cierto que si se considera una $n$forma $\omega$ $\mathbb{R}^n$ y un suave mapa de $\Phi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ hay una fórmula $$ (\Phi^* \omega)_x = \det(d \Phi(x)) \omega_{\Phi(x)} .$$