Abrir los subconjuntos de cierre

Question

Yo quiero probar que todo subconjunto abierto de un topológico subpace es un subconjunto abierto de su cierre.

Deje $Y$ ser un espacio topológico y $X$ un subespacio de $Y$. Si $U$ es un subconjunto abierto de $X$,$U=U\cap \overline X$, por lo tanto U es un subconjunto abierto de $\overline X$ también.

Estoy en lo cierto?

Gracias de antemano

Answer 1

Sí, esto es correcto. Más generalmente, si $U$ es un subconjunto abierto de $X$, e $A$ es cualquier subconjunto de a $X$ contiene $U$, $U\cap A=U$ es un subconjunto abierto de $A$.

Añadido: Por 'esto' me refería a la afirmación de que un conjunto abierto es abierto en su cierre; me llamaron de distancia y no se mira con suficiente atención en el argumento, que parece ir con los diferentes (y falsa) de la proposición de que si $U$ es un subconjunto abierto de $X$ donde$X\subseteq Y$, $U$ está abierto en $\operatorname{cl}_YX$. Un contraejemplo para esto es tomar $Y=\Bbb R$, $X=\Bbb Q$, y $U=\Bbb Q\cap(0,1)$. A continuación, $U$ es relativamente abierta en $\Bbb Q$, pero $U$ no es un conjunto abierto en $\operatorname{cl}_{\Bbb R}\Bbb Q=\Bbb R$.

Answer 2

No, esto es incorrecto. Un subconjunto abierto $O$ $X$ es un punto de intersección $X\cap O'$ $O'$ un subconjunto abierto de $Y$. En general $O$ no, en general, estar abiertos a $\overline{X}$, es decir, no hay ninguna razón por la que existe un subconjunto abierto $O'\subset Y$ con ambos $$\begin{cases} O=X\cap O' \\ \qquad \text{and}\\ O=\overline{X}\cap O' \end{casos}$$

Por ejemplo, considere el $X=\Bbb Q\subset \Bbb R=Y$. A continuación,$O=\Bbb Q_{+}^*=(0,\infty)\cap\Bbb Q$, el de los números racionales positivos, es abierta en $X$, y no en $Y$.