Un mal de Cayley–Hamilton teorema de la prueba

Question

Dado $A\in M_{n \times n}(\mathbb{F})$ $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ ¿por qué decir que $\det(AI-A)=0$ no es válido?

Answer 1

No es válida porque en la expresión de $xI$, el funcionamiento oculto es la multiplicación escalar, es decir, la multiplicación de la matriz de identidad por el constante valor real $x$. En la expresión de $AI$, el funcionamiento oculto es la matriz de multiplicar, que es en general diferente de escalar multiplicar.

Hay una verdadera sutileza: el polinomio $p_A(x)$ es, como se define por la ecuación de un polinomio de la función de una sola variable real. El CH teorema dice que si, después de haber calculado los coeficientes de dicho polinomio, ahora el enchufe en la matriz $A$ para la variable $x$, y el tratamiento de los poderes de $x$ como matriz de competencias de $A$, se obtiene la matriz cero. Haciendo que la conexión de=en=a=matriz=donde a=a=real=número=debe=se es muy raro operación, y por lo que el resultado es bastante sorprendente.

Answer 2

No es válida porque de Cayley Hamilton dice que $p_A(A)=0$, donde 0 es la matriz cero, pero en su argumento tiene un cero escalar.