El espectro de un operador de desplazamiento a la derecha.

Question

Tengo algunas dudas sobre el siguiente problema :

Consideremos $T : \ell^1(\mathbb N) \to \ell^1(\mathbb N) $$(x_1,x_2..... ) \to (x_2, x_3 ........) $.

Quiero encontrar el eigen valores y el espectro de T y también de $T' : \ell^\infty (\mathbb N)\to \ell^\infty(\mathbb N)$

consideremos $\lambda $ a ser el eigen valor, $Tx=\lambda x$ $x \in \ell^1$ a continuación se obtienen $(x_2,x_3,......)=(\lambda x_1, \lambda x_2 ........)$ que sostiene la igualdad si $x_1=x_2=.....=0$ , lo que significa que no hay eigen valor de $T$ .

¿Cómo puedo encontrar el espectro de $T$$T'$ ? Gracias por su ayuda.

Answer 1

El "iff" la parte que está mal. Considere la posibilidad de: $(x_i)$$x_i=\lambda^i$. Por lo $\lambda$ es este en $\ell^1$? En $\ell^\infty$?

Usted puede escribir explícitamente para $|\lambda|>1$ el inverso de a $\lambda I -T$ por escrito:

$$S_\lambda = (\lambda I - T)^{-1} = \lambda^{-1}(I-\lambda^{-1}T)^{-1} = \lambda^{-1}\sum_{k=0}^\infty \lambda^{-k} T^k$$

Escrito $x=(x_i)$$(y_i)=S_\lambda x$, obtenemos:

$$y_i = \sum_{k=0}^\infty \lambda^{-(k+1)} x_{i+k}$$

Usted necesita demostrar que si $x\in\ell^1$ (resp. $\ell^\infty$), entonces esta serie de $y_i$ coverges para todos los $i$, e $(y_i)\in\ell^1$ (resp. $\ell^\infty$.)