Son estos números $h_{r,s}$ irracional?

Question

Me encontré con estos números en mi trabajo hace algún tiempo. Este tipo de expresiones no existen en forma cerrada (no confundir con Vandermonde de convolución), ya sé que. Para simplificar la que me indican $$P(r;s;k)=\binom{\frac{n}{2}+r}{k} \binom{\frac{n}{2}-r}{k+s}$$

He aquí por qué yo creo que estos números son interesantes: cualquier persona puede ver la combinatoria de las estructuras en los algoritmos o en otros lugares, pero estas expresiones coinciden.

El experimento 1, $r=0, s=0:$ Hay $n$ monedas justas, de ellos la mitad son cabezas de $H$, la mitad de las colas $T$. Cada moneda es volteado w.p. $\frac{1}{n}$, es decir, proporcional al tamaño de la muestra. La pregunta es, después de que el experimento es más, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de $H$/$T$ sigue siendo el mismo, es decir, mitad y mitad. Lo difícil es, a fin de preservar la relación, tenemos que dar la vuelta a un $\mathit{even}$ número de monedas, o, más específicamente, un número igual de $H$ $T$ (obviamente dos $H$ o dos $T$ no): 0 $H$ y 0 $T$ o al 1 $H$ 1 $T$ y así sucesivamente hasta $\frac{n}{2} \ H, \frac{n}{2} \ T$. La probabilidad de preservar la relación (y la primera serie) es por lo tanto $$ h_{0,0}= \lim _{n \to \infty} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}} P(0;0;k) \frac{1}{n^{2k}} \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^{n-2k} \approx 0.465267 $$

Experimento 2, $r=0,s=1$: la misma configuración que antes, pero ahora necesito para obtener el $\textit{exactly}$ $H$ moneda como resultado del experimento (o $T$, no importa por simetría). Para hacer esto, necesito voltear $exactly$$T$$H$, por lo tanto tenemos que dar la vuelta a un $odd$ número de monedas:

$$ h_{0,1}= \lim _{n \to \infty} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} P(0;1;k) \frac{1}{n^{2k+1}} \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^{n-2k-1} \approx 0.208912 $$

El experimento 3, $r=1,s=0$. Esto viene directamente después del experimento 2: tenemos $\frac{n}{2}+1 \ H$$\frac{n}{2}-1 \ T$. Queremos el mismo resultado que en el Experimento 1: mantener la proporción actual de $H$ $T$ (es decir, dar la vuelta a un número par de monedas), pero es evidente que en todo este tiempo el límite superior de la suma es $\frac{n}{2}-1$.

$$ h_{1,0}= \lim _{n \to \infty} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} P(1;0;k) \frac{1}{n^{2k}} \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^{n-2k} \approx 0.465225 $$

y así sucesivamente para $h_{r,s}, 0 \leq r,s \leq n$. Así que aquí es lo que me gustaría saber:

1) Tener estos números surgido en otro contexto (nunca me terminó la publicación de un documento)

2) ¿hay alguna manera rigurosa a probar estos números son irracionales? He mostrado el $\lim$ parte simplemente por tomar un gran $n$, así que supongo que esto no lo suficientemente riguroso.

3) Si hay algo que he echado de menos, me gustaría saber demasiado.

Gracias por las sugerencias.

Answer 1

Me parece $$h_{0,0} = \frac{I_0(1)}{e} \approx 0.4657596,$$ where $I_0(x)$ is a modified Bessel function. That answers your question about $h_{0,0}$ derivadas en otro contexto.

Tan lejos como la irracionalidad de la $h_{0,0}$, de curso $1/e$ es trascendental. El valor de $I_0(1)$ es irracional (ver argumento al final del post). Desde irracional veces irracionales puede ser racional, aunque esto no es completamente responder a su pregunta acerca de la $h_{0,0}$.

No estoy seguro acerca de $h_{0,1}$$h_{1,0}$. Tal vez mi argumento a continuación podría ser modificado.

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La prueba de que $h_{0,0} = I_0(1)/e$.

Dado que el número total de monedas debe ser, incluso, consideremos $2n$ monedas. A continuación, $$h_{0,0} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n}{k} \left(\frac{1}{2n}\right)^{2k} \left(1 - \frac{1}{2n}\right)^{2n-2k}.$$ Con un poco de álgebra, la suma puede ser simplificado a $$\left(1 - \frac{1}{2n}\right)^{2n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 \frac{1}{(2n-1)^{2k}}.$$ Ahora, $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 x^k$ puede ser expresada en términos de polinomios de Legendre $P_n$. (Véase, por ejemplo, mi respuesta aquí.) Con $x = 1/(2n-1)^2$, tenemos $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 x^k = (1-x)^n P_n\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \left(1-\frac{1}{(2n-1)^2}\right)^n P_n\left(1 + \frac{1}{2n^2-2n}\right).$$

Desde $\left(1 - \frac{1}{2n}\right)^{2n} \to 1/e$$\left(1-\frac{1}{(2n-1)^2}\right)^n \to 1$$n \to \infty$, nos quedamos con la determinación de la asymptotics del polinomio de Legendre de expresión.

De acuerdo a la DLMF, para $x > 1$, y $n \to \infty$, $$P_n(x) \sim \frac{\cosh^{-1} x}{\sinh(\cosh^{-1}x)} I_0\left((n+1/2)\cosh^{-1}(x)\right).$$

El asintótica cálculos a partir de aquí son un poco doloroso. Básicamente tenemos que usar $\cosh^{-1}(x) = \log(x+ \sqrt{x^2-1})$ (véase, por ejemplo, aquí) y $\sinh(\cosh^{-1}x) = \sqrt{x^2-1}$. Llegamos $\displaystyle \frac{\cosh^{-1} y}{\sinh(\cosh^{-1}y)} \to 1$$(n+1/2)\cosh^{-1}(y) \to 1$$n \to \infty$$y = 1 + \frac{1}{2n^2-2n}$.

Esto establece $$h_{0,0} = \frac{I_0(1)}{e},$$ como se menciono como la parte superior del poste.

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La prueba de que $I_0(1)$ es irracional.

La función Bessel modificada $I_0(x)$ tiene la representación agradable $$I_0(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{k!k!4^k}.$$ Por lo tanto $$I_0(1) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!k!4^k}.$$ Para demostrar que el valor de esta suma infinita es irracional, puede imitar Sondow la prueba de la irracionalidad de la $e$. Comience con el intervalo de $[1,2]$. En el paso $k$, se divide el intervalo actual en $4k^2$ subintervalos iguales y tomar la segunda a la subinterval cada momento. Esto crea una secuencia de intervalos anidados tal que $\displaystyle \frac{a_k}{k!k!4^k} < I_0(1) < \frac{a_k+1}{k!k!4^k}$ $a_k$ es un número entero. Esto demuestra que $I_0(1)$ no puede ser representado en la forma $\displaystyle \frac{r}{k!k!4^k}$ para cualquier entero $r$. Sin embargo, cada número racional se puede expresar en la forma $\displaystyle \frac{r}{k!k!4^k}$ para algunos entero $r$. Por ejemplo, $\displaystyle \frac{p}{q} = \frac{p (q-1)! q! 4^q}{q!q!4^q}$. Por lo tanto, $I_0(1)$ es irracional.