¿Los funtores adjuntos realmente definen las mónadas?

Question

Con frecuencia se afirma como "evidente" que un par de adjoint functors: $L\colon{\cal V}\to {\cal M}$ $R\colon{\cal M}\to {\cal V}$ define un cotriple $(\bot, \epsilon, \delta)$ y una monada. Lo que está mal con el siguiente contraejemplo?

Deje ${\cal V}$ ser la categoría de espacios vectoriales sobre $\mathbb R$ ${\cal M}$ ser la categoría de los módulos a través de una Mentira álgebra $\mathfrak g.$ (creo) el olvidadizo functor $R:{\cal M}\to {\cal V}$ es derecho medico adjunto $L\colon{\cal V}\to {\cal M},$ $L(V)=V\otimes \mathfrak g.$

El counit $\epsilon\colon M\otimes \mathfrak g\to M$ está dado por la acción de la $\mathfrak g$ $M.$ En Weibel, "Introducción al Álgebra Homológica", la construcción de una mónada se basa en la siguiente identidad: $\epsilon\circ (LR\epsilon)=\epsilon\circ(\epsilon LR)$. Eso significa que $(m\cdot x)\cdot y=m\cdot (x\cdot y)$$x,y\in \mathfrak g.$, Pero para Mentir álgebra módulos que hemos $(m\cdot x)\cdot y=m\cdot (x\cdot y)+(m\cdot y)\cdot x$!

Answer 1

He editado la respuesta para enfrentar los problemas reales de la pregunta y para acortar un poco.

Los datos que usted ha indicado que no puede dar la contigüidad, el problema está en la supuesta counit. Los detalles de la siguiente manera.

El punto es el de los morfismos $\epsilon \colon M \otimes \mathfrak g \to M$ con el fin de ser el (los componentes de la) counit de la contigüidad debe ser de morfismos en la categoría de $\mathcal M$, es decir, deben ser morfismos de álgebras de lie. Y eso no es posible aquí es por qué.

Por supuesto ya que la acción de $\mathfrak g$ más de un módulo de $M$ es un bilineal mapa, podemos identificar la acción con un lineal mapa de $\epsilon_M \colon M \otimes \mathfrak g \to M$ que es la asignación que $$\epsilon_M(m \otimes x) =m \cdot x$$ para$m \in M$$x \in \mathfrak g$, lo que hemos dicho hasta ahora dice que $\epsilon$ debe satisfacer la igualdad $$\epsilon_M( (m \otimes x) \cdot y) = \epsilon(m \otimes x) \cdot$y$ donde la acción $\cdot$ en el de la izquierda es la acción en la $\mathfrak g$-módulo de $M \otimes \mathfrak g$, mientras que en la acción en el derecho es que en el módulo de $M$.

Ahora la última ecuación puede escribirse como $$m \cdot [x,y] = (m \cdot x)\cdot y$$ que como se dijo en la pregunta no tiene. Por lo que el $\epsilon$ no es una familia de morfismos en $\mathcal M$, por lo que no puede ser el counit de una contigüidad.

Sólo para la integridad y convencer de que la propiedad de adjoint functors que se dijo, a saber, que la igualdad de $\epsilon \circ LR(\epsilon) = \epsilon \circ \epsilon_{LR}$, sostiene que he escrito una prueba a continuación.

Un poco de notación: $F \colon \mathcal X \to \mathcal A$ $R \colon \mathcal A \to \mathcal X$ son los adjuntos functors, $\varphi \colon \mathcal A(L(-),-) \cong \mathcal X(-,R(-))$ es la contigüidad y $\epsilon \colon LR \Rightarrow 1_\mathcal{A}$ es el counit.

Ahora por las propiedades de contigüidad obtenemos que para cada objeto $A \in \mathcal A$ $$\epsilon_A \circ \epsilon_{LR(A)}=\mathcal A(L(1_{R(M)}),\epsilon_A)\circ \varphi^{-1}(1_{RLR(A)})$$ $$\epsilon_A \circ \epsilon_{LR(A)} = \varphi^{-1} \circ \mathcal V(1_{R(A)},R(\epsilon_A))(1_{RLR(A)})$$ $$\epsilon_A \circ \epsilon_{LR(A)} = \varphi^{-1}(R(\epsilon_A))$$ y que $$\epsilon_A \circ LR(\epsilon_A) = \mathcal M(LR(\epsilon_A),1_{LR(A)}) \circ \varphi^{-1}(1_{R(A)})$$ $$\epsilon_M \circ LR(\epsilon_A) = \varphi^{-1}\circ \mathcal V(R(\epsilon_A),R(1_{LR(A)}))(1_{R(A)})$$ $$\epsilon_A \circ LR(\epsilon_A) = \varphi^{-1}(R(\epsilon_A))$$ esto demuestra el tan deseado igualdad.

Answer 2

Dejaría esto como un comentario, pero vea "Categorías para el matemático de trabajo" de Mac Lane, segunda edición, p.138. No lo deja en "es obvio", pero lo explica muy claramente.

EDITAR: También, me tomó un poco darse cuenta de esto, pero dibujar la identidad$\epsilon\circ LR\epsilon = \epsilon\circ \epsilon LR$ como un diagrama conmutativo y observar que es un cuadrado de naturalidad para$\epsilon$. Si su "contraejemplo" se cumple,$\epsilon$ no es siquiera una transformación natural, y por lo tanto no es el resultado de una adjunción.

Answer 3

Creo que encontré el error: ¡Mi$L$ y$R$ no son adjuntos! Para un álgebra asociativa$A,$ sobre$\mathbb R$, el functor olvidadizo$R$ es adjunto a$L: {\mathcal V}\to {\mathcal M}$ (= categoría de derecho$A$ - modules) enviando, por ejemplo $z\in M=Hom_{\mathbb R}({\mathbb R},M)$ a$r_z\in Hom_{A}(A,M),$$r_z(a)=z\cdot a.$ Esto es un$A$ - homomorfismos del módulo porque$r_z(ab)=r_z(a)b$. ¡Pero eso falla cuando$A$ no es asociativo!

¡Gracias a todos por sus comentarios, especialmente @Omar, quien apuntó en esa dirección!