Prueba de que una matriz dada tiene rango$n-1$

Question

Deje que$x_1 \cdots x_n$ sean números reales$x_i>1$ de manera que

ps

¿Es cierto que la matriz

$$\ left [\begin{matrix} x_1-1 & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & x_2-1 & \cdots & -1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & -1 \\ -1 & -1 & \cdots & x_n-1 \end {matrix} \ right]$$

tiene rango$$\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n} = 1$? ¿Hay alguna prueba simple?

Answer 1

Sí, es verdad. Aquí hay una prueba muy elemental, usando$\text{rk}(M) = n-\dim (\ker M)$. Tenemos$M_{ij} = x_i\delta_{ij} - 1$, entonces$v \in \ker M$ se convierte en \begin{align*} &\sum_{j=1}^n (x_i\delta_{ij} - 1)v_j = 0 ~,~\forall~i\\ \Rightarrow& v_j = \frac{1}{x_j}\sum_{i=1}^n v_i~. \end {align *} Entonces el kernel es unidimensional (determinado por la constante arbitraria$K = \sum_i v_i$). La restricción que obtiene al sumar lo anterior sobre$j$ se satisface de manera idéntica debido a su condición$\sum_j 1/x_j = 1$.

Answer 2

Considere la matriz $$A = \begin{pmatrix}1-x_1^{-1}&-x_2^{-1}&\ldots&-x_n^{-1}\\ -x_1^{-1}&1-x_2^{-1}&\ldots&-x_n^{-1}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -x_1^{-1}&-x_2^{-1}&\ldots&1-x_n^{-1}\end {pmatrix}$$ obtenida por la que se muestra arriba dividiendo la columna$j$ - th por$x_j$. Entonces, deje$u=(1,1,\ldots,1)^t$, de modo que $$Au = \begin{pmatrix}1-x_1^{-1}-x_2^{-1}-\ldots-x_n^{-1}\\ -x_1^{-1}+1-x_2^{-1}-\ldots-x_n^{-1}\\ \vdots\\ -x_1^{-1}-x_2^{-1}-\ldots+1-x_n^{-1}\end {pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end {pmatrix} \;.$$ Por lo tanto,$u\in\ker A$, entonces$\mathrm{rk}\; A\leq n-1$

Por otro lado, configure$D=\mathrm{diag}(x_1,\ldots, x_n)$ y$U=(u_{ij})$ con$u_{ij}=1$ para cada$1\leq i,j\leq n$. Luego$A+U=D$ y$\mathrm{rk}U=1$,$\mathrm{rk}D=n$, por lo tanto$\mathrm{rk} A\geq n-1$. [Editar: este es esencialmente el comentario por hardmath y se prueba al notar que$\mathbb{R}^n=\mathrm{Im}A+U\subseteq\mathrm{Im}A \oplus \mathrm{Im}U$ y, como$\mathrm{Im}U$ es unidimensional,$\mathrm{Im}A$ tiene que ser al menos$n-1$ - dimensional.]