Cómo encontrar$\int_{\pi}^{0}\frac{2\cos{t}-8\sin{t}-12\sin{t}\cos{t}}{12\cos^2{t}+16\cos{t}+8}dt$

Question

Encuentre la siguiente integral:$$I=\int_{\pi}^{0}\dfrac{2\cos{t}-8\sin{t}-12\sin{t}\cos{t}}{12\cos^2{t}+16\cos{t}+8}dt$ $

Intento dejar$$t=-x$ $$$I=\int_{-\pi}^{0}\dfrac{-2\cos{x}-8\sin{x}-12\sin{x}\cos{x}}{12\cos^2{x}+16\cos{x}+8}dx$ $ so$$2I=\left(\int_{\pi}^{0}+\int_{-\pi}^{0}\right)\dfrac{-8\sin{x}-12\sin{x}\cos{x}}{12\cos^2{x}+16\cos{x}+8}dx+\int_{\pi}^{\pi}\dfrac{-2\cos{x}}{12\cos^2{x}+16\cos{x}+8}dx$ $

entonces no puedo, gracias.

Answer 1

Lucian tengo derecho a empezar. Mi manera de ver esto es dividir la integral:

$$\begin{align}-I &= \int_0^{\pi} dt \frac{\cos{t}}{6 \cos^2{t}+8 \cos{t}+4} + \frac12 \int_0^{\pi} dt \frac{-24 \sin{t} \cos{t} - 16 \sin{t}}{12 \cos^2{t}+16 \cos{t}+8} \\ &= \int_0^{\pi} dt \frac{\cos{t}}{6 \cos^2{t}+8 \cos{t}+4} + \frac12 \left [\log{(12 \cos^2{t}+16 \cos{t}+8)} \right ]_0^{\pi} \\ &= J - \log{3}\end{align}$$

donde (préstamo de nuevo de Lucian)

$$J = \int_0^{\pi} dt \frac{\cos{t}}{6 \cos^2{t}+8 \cos{t}+4} $$

Ahora, como es bien conocido en el arte de la evaluación de las integrales de este tipo, podemos usar el teorema de los residuos. Primero hablamos de aprovechar la simetría alrededor de $[0, \pi]$ a el círculo completo y sustituto $z=e^{i t}$ tal que $dt = -i dz/z$ y obtener

$$\begin{align}J &= \frac14 \int_0^{2 \pi} \frac{\cos{t}}{3 \cos^2{t}+4 \cos{t}+2} \\ &= -\frac{i}{4} \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z} \frac{\frac12 \left (z+z^{-1} \right )}{\frac{3}{4}\left (z^2+z^{-2}+2 \right)+ 2 \left ( z + z^{-1}\right ) + 2} \\&= -\frac{i}{2} \oint_{|z|=1} dz \frac{z^2+1}{3 z^4+8 z^3+14 z^2+8 z+3}\end{align} $$

Para evaluar la segunda integral, necesitamos encontrar los polos de el integrando, es decir, los ceros del denominador. Puede ser un cuarto grado, pero afortunadamente factores:

$$3 z^4+8 z^3+14 z^2+8 z+3 = (3 z^2+2 z+1)(z^2+2 z+3)$$

(Yo tengo esto un poco de ensayo y error, pero debe ser claro que una de factoring existe). A partir de esto, podemos fácilmente determinar los polos:

$$z_1^{\pm} = \frac{-1 \pm i \sqrt{2}}{3}$$ $$z_2^{\pm} = -1 \pm i \sqrt{2}$$

También debe quedar claro que los polos $z_1^{\pm}$ están dentro del círculo unitario y $z_2^{\pm}$ están fuera del círculo unidad. Así que ahora tenemos que evaluar los residuos sólo en $z_1^{\pm}$. Para calcular los residuos, utilice el hecho de que, para una función $f(z)=p(z)/q(z)$ tener un simple poste de $z=z_0$, el residuo de $f$$z=z_0$$p(z_0)/q'(z_0)$. Por lo tanto la suma de los residuos es

$$\frac{z_1^{+2}+1}{12 z_1^{+3}+24 z_1^{+2} + 28 z_1^++8} + \frac{z_1^{-2}+1}{12 z_1^{-3}+24 z_1^{-2} + 28 z_1^-+8} $$

(Disculpas por la confusión en la notación. Los exponentes de arriba no son negativos, pero al menos es parte del nombre de la variable.)

Lo que tenemos ahora es un desastre, pero podemos limpiar un poco porque sabemos que los polos de arriba son complejos conjugados de cada uno de los otros, de modo que la suma es realmente

$$2 \Re{\left [\frac{z_1^{+2}+1}{12 z_1^{+3}+24 z_1^{+2} + 28 z_1^++8} \right ]}$$

Ahora, no voy a publicar aquí una respuesta que yo no podía llegar con la mano. Te aseguro que no es tan malo como parece, porque:

$$z_1^{+} = \frac13 (-1+i \sqrt{2})$$ $$z_1^{+2} = -\frac19 (1+i 2 \sqrt{2})$$ $$z_1^{+3} = \frac{1}{27} (5 + i \sqrt{2})$$

Poner todo esto en conjunto para conseguir que (después de la cancelación de dos en dos)

$$\begin{align} \frac{z_1^{+2}+1}{6 z_1^{+3}+12 z_1^{+2} + 14 z_1^++4} &= \frac{\frac19 (8-i 2 \sqrt{2})}{\frac{6}{27} (5 + i \sqrt{2}) - \frac{12}{9} (1+i 2 \sqrt{2}) + \frac{14}{3} (-1 + i \sqrt{2}) + 4} \\ &= \frac{3 (8 - i 2 \sqrt{2})}{6 (5 + i \sqrt{2})-36 (1+i 2 \sqrt{2}) + 126 (-1 + i \sqrt{2}) + 108} \\ &= - \frac{24-i 6 \sqrt{2}}{24-i 60 \sqrt{2}}\\ &= -\frac{324+i 324}{1944}\\&= -\frac{1+i}{6} \end{align}$$

Por lo que la suma de los residuos es $(-1/6) (-i/2) = i/12$. Por el teorema de los residuos, la integral buscada, $J$ $i 2 \pi$ veces esa suma, o $J=-\pi/6$. Por lo tanto, el original de la integral es

$$I = \frac{\pi}{6}+\log{3}$$

ANEXO

Debo añadir un poco acerca de por qué hemos dividido la integral en el primer lugar, en el caso de que no estaba claro. Yo vi pedazos que había una antiderivada, y otra que no. Siempre es mejor ir después de esas piezas que pueden ser integrados como de costumbre, usando el teorema fundamental, cuando no es una antiderivada. La otra pieza que no, el coseno, siempre se podía hacer por el teorema de los residuos, incluso si es desordenada. En este caso, sin embargo, a pesar de que hubo algunos trabajos involucrados, el cálculo no era del todo terrible.

Answer 2

Lo primero que debe notar es que los dos últimos términos del numerador no son más que la mitad de la derivada del denominador:$$I = \int_\pi^0 \frac{2\cos t + \tfrac12(12\cos^2{t}+16\cos{t}+8)'}{12\cos^2{t}+16\cos{t}+8}dt = \tfrac12\ln(12\cos^2{t}+16\cos{t}+8)\Bigg|_{\ \pi}^{\ 0} + $$ $$ + \int_\pi^0 \frac{\cos t}{6\cos^2{t}+8\cos{t}+4}dt = \ln3 + J$ $ donde la expresión de J es considerablemente más simple que la de nuestra integral inicial I, y puede resolverse fácilmente mediante varias sustituciones, como la señalada en los comentarios anteriores, por ejemplo.