cuánto vale para ellos

Question

Cuál es el valor de:$$\arctan(1/2)+\arctan(1/5)+\arctan(1/8)?$ $

Traté de hacer una solución geométrica ::

Donde en los ángulos que estamos buscando se muestran, pero no puedo resolverlo. ¿Podemos usarlo con este tipo de enfoque? ¿Alguien puede publicar una solución usando identidades trigonométricas?

Answer 1

Al considerar que$$(2+i)(5+i)(8+i) = 65(1+i)$ $ y tomando el argumento de ambos lados, inmediatamente tenemos$$ \arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{5}+\arctan\frac{1}{8}=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.$ $

Answer 2

Como mencionó "prueba geométrica", permítame intentar proporcionar uno:;)

Espero que ayude sin embargo ...

Answer 3

También se puede utilizar directamente la siguiente fórmula:

$$\tag{1}\tan(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma-\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}{1-\tan\alpha\tan\beta-\tan\alpha\tan\gamma-\tan\beta\tan\gamma}$$

Tomando $\arctan$ de ambos lados, y el establecimiento de

$$a:=\tan \alpha, b:=\tan \alpha, c :=\tan \gamma,$$

obtenemos:

$$\tag{2}\arctan(a)+\arctan(b)+\arctan(c)=\arctan \left( \frac{a+b+c-abc}{1-ab-ac-bc}\right)$$

Queda para reemplazar a $a,b,c$ por sus valores para obtener

$$\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}$$

Observación 1 : Un dominio de validez de la fórmula (1) es para ángulos $\alpha, \beta, \gamma \in (0, \pi/2)$ tal que $\alpha+\beta+\gamma \in (0, \pi/2)$. Aquí, estas condiciones se cumplen.

La prueba de la fórmula (2): (que explican la presencia en (2) de los polinomios simétricos $1, \ a+b+c, \ ab+ac+bc,\ abc$).

Es una consecuencia inmediata de la siguiente identidad en $\mathbb{C}$:

$$\tag{3}(1+ia)(1+ib)(1+ic)=1+i(a+b+c)+i^2(ab+ac+bc)+i^3 abc$$

Porque, tomando argumentos de ambos lados de (3), con la condición dada en el Comentario 1 (que evitar la adición de $+k2\pi$ o $+k\pi$):

$$\arg(1+ia)+\arg(1+ib)+\arg(1+ic)=\arg(1-(ab+ac+bc))+i(a+b+c-abc)$$

que no es otra cosa que (2).

Observación 2: en el modelo de (2), se puede expresar como una suma de $\arctan$ de cualquier tamaño bajo una forma cerrada $\arctan(\cdots)$.

Answer 4

Insinuación. Tenga en cuenta que si$|\arctan x+\arctan y|<\pi/2$, entonces$$\arctan{x}+\arctan{y}=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right).$ $ (vea por ejemplo AQUÍ ). Por lo tanto$$\arctan(1/5)+\arctan(1/8)=\arctan\left(\frac{1/5+1/8}{1-1/40}\right)=\arctan\left(1/3\right).$ $ ¿Puedes tomarlo desde aquí?