No tengo idea de probar la siguiente desigualdad:
Dejar $x=(x_1,\cdots,x_n), y= (y_1,\cdots,y_n)\in\Bbb S^n$. entonces$$(x_1y_2-x_2y_1)^2\leq 2(1-\left<x,y\right>).$ $
Cualquier ayuda sería genial.
Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
De manera más general, permita que$x=(x_1,\cdots,x_n)$,$y= (y_1,\cdots,y_n)$ (con$n\geq 2$) sea tal que$\|x\|,\|y\|\leq 1$. Entonces$$(x_1y_2-x_2y_1)^2\leq 2(1-\left<x,y\right>).$ $ Note que por desigualdad de Cauchy-Schwarz , $$ \begin{align} (x_1y_2-x_2y_1)^2&=((x_1-y_1)y_2+(y_2-x_2)y_1)^2\\ &\leq \left((x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2\right)(y_1^2+y_2^2)\\ &\leq \sum_{k=1}^n(x_k-y_k)^2\cdot \|y\|^2\\ &\leq \sum_{k=1}^n(x_k-y_k)^2. \end {align} $$ Por otro lado,$$2(1-\left<x,y\right>)\geq\sum_{k=1}^nx_k^2+\sum_{k=1}^ny_k^2-2\sum_{k=1}^nx_ky_k=\sum_{k=1}^n(x_k-y_k)^2.$ $
Jacky Chong
Puntos
2202
Considere la matriz \begin{align} A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 &\ldots & 0\\ 1 & 0 & 0 &\ldots & 0\\ 0 & 0 & 0 &\dots & 0\\ \vdots & \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ 0 & 0& 0 &\ldots & 0 \end {pmatrix} \ end {align} y observe que \begin{align} y^TA x = x_1y_2 - x_2y_1 \ \ \text{ and } \ \ \ x^TAx = y^TAy=0. \end {align} Luego, observe que \begin{align} y^TAx = y^TA(x-y) \end {align} luego por la desigualdad de Cauchy-Schwarz obtenemos eso \begin{align} |y^TAx|^2 \leq \|A\|^2\|y\|^2\|x-y\|^2 = \|A\|^2\|x-y\|^2. \end {align} Por último, no es difícil ver que$\|A\| = 1$ y$\|x-y\|^2 = \|x\|^2-2\langle x, y\rangle +\|y\|^2 = 2(1-\langle x, y\rangle)$.
