Argumentos del "análisis dimensional" en la teoría cuántica de campos

Question

Me siento incómodo con los argumentos del análisis dimensional que se hacen en la teoría cuántica de campos, especialmente los relacionados con la renormalización. Por ejemplo, en la sección III.2 del libro de QFT de Zee, dice:

Consideremos la teoría de Fermi sobre la interacción débil. Imagina que calculas la amplitud $\mathcal{M}$ para una interacción de cuatro fermiones. En el orden más bajo, $\mathcal{M} \sim G$ . Intentemos escribir la amplitud hasta el siguiente orden. [...] Por análisis dimensional, la única posibilidad es $$\mathcal{M} \sim G + G^2 \Lambda^2.$$ Sin un corte en la teoría, o equivalentemente con $\Lambda = \infty$ Los teóricos se dieron cuenta de que la teoría estaba enferma: el infinito era el valor predicho para una cantidad física. Se dijo que la teoría de la interacción débil de Fermi era no normalizable.

Esto ya es confuso, porque las divergencias UV también se dan en las teorías renormalizables. También es confuso por qué la escala de energía $E$ del proceso no puede aparecer. Luego, una página más tarde, se lee:

Esta es otra forma de plantear el mismo punto. Supongamos que no sabemos nada sobre los cortes y todo eso. Entonces, mediante un análisis dimensional de alta escuela, vemos que la amplitud de dispersión en la energía del centro de masa $E$ tiene que ir como $$\mathcal{M} \sim G + G^2 E^2 + \ldots.$$ Cuando $E$ alcanza la escala $(1/G)^{1/2}$ la amplitud alcanza el orden de la unidad y una nueva física debe tomar el relevo.

Estos dos pasajes parecen descaradamente contradictorios; ¿no acabamos de decir $E$ no estaba permitido en el análisis dimensional? ¿Cómo desapareció el corte, cuando en realidad debería seguir ahí?

En general, parece que siempre hay escalas de tres dimensiones, $G$ , $E$ y $\Lambda$ . ¿Cuál es la forma correcta de hacer un argumento de análisis dimensional usándolos, y por qué los dos pasajes anteriores no son inconsistentes?

Answer 1

Una buena manera de hacer el análisis de la dimensión en el cálculo de las amplitudes se basa en un buen recuento de la potencia de la acción. Permítame explicar cómo funciona antes de responder a su pregunta. Para simplificar, en lo que sigue, consideraré una QFT en $d=4$ .

Normalmente, es muy útil distinguir entre acoplamientos, constantes de decaimiento y escalas de masa. Para ello, restablecemos las dimensiones de $\hbar$ . Lo que quiero decir es que la acción del sistema tiene que tener dimensión de $\hbar$ , a saber

$$ [\mathcal{S}] = [\hbar].\qquad\qquad\qquad (1) $$

Consideremos el ejemplo muy simple de una teoría escalar de un acoplamiento y una escala (teoría escalar 1C1S), caracterizada por un acoplamiento $g_*$ y una escala $\Lambda$ (que se interpreta como un corte que puede impulsar la expansión de la derivada de la TEF en potencias de $\partial/\Lambda$ ).

Habiendo restaurado los poderes de $\hbar$ En este caso, las dimensiones de los campos no son sólo las de las potencias de energía. En efecto, a partir del término cinético

$$ [\hbar]=[\mathcal{S}] = [\int d^4x \, (\partial\phi)^2] = M^{-4} M^2 [\phi]^2 $$

donde $M$ sólo significa "dimensión de una masa". De este análisis dimensional vemos que $[\phi] = \hbar^{1/2} M $ y análogamente para los campos espinoriales $[\Psi] = \hbar^{1/2} M^{3/2}$ .

Definimos entonces un acoplamiento $g_*$ cuya dimensión es $[g_*] = [\hbar]^{-1/2}$ . Para la teoría escalar, se puede ver esto como una definición equivalente de $g_*$ como el cuadrado del coeficiente del marginal $\phi^4$ interacción. De hecho, el $\phi^4$ la interacción tiene la dimensión correcta como en la Ec.(1)

$$ \int d^4 x\, [g_*^2 \phi]^4 = M^{-4} [\hbar]^{-1} M^4 [\hbar]^{2} = [\hbar]. $$

Se ve entonces que la lagrangiana se puede escribir como

$$ \mathcal{L}(\phi,\partial\phi) = \frac{\Lambda^4}{g_*^2}\hat{\mathcal{L}}\left(g_* \frac{\phi}{\Lambda},\frac{\partial}{\Lambda}\right) $$ donde $\hat{\mathcal{L}}$ es una función adimensional de sus argumentos adimensionales. En general, cualquier inserción del campo puede llevar un $O(1)$ -que no está fijada por la cuenta de potencia (estos coeficientes se llamarán $a_1,a_2,a_3....$ ; véase más abajo). Así, por ejemplo, se pueden escribir los términos más generales compatibles con las simetrías de la teoría. En este caso, no tenemos ninguna simetría, y podemos escribir

\begin{align} \mathcal{L} &\supset \frac{\Lambda^4}{g_*^2}\left( a_1 g_*^2 \frac{(\partial\phi)^2}{\Lambda^4} + a_2 \,g_*^2 \Lambda^{-2} \phi^2 + a_3\, g_*^3 \Lambda^{-3}\phi^3+a_4\, g_*^4 \Lambda^{-4} \phi^4 + a_5\, g_*^4 \Lambda^{-6}(\partial\phi)^2\phi^2\right)\\ &= a_1(\partial\phi)^2 + a_2 \, \Lambda^{2} \phi^2 + a_3\, g_* \Lambda\phi^3+a_4\, g_*^2 \phi^4 + a_5\, g_*^2 \frac{(\partial\phi)^2\phi^2}{\Lambda^2}\,.\qquad \qquad \qquad(2) \end{align}

Para tener un campo escalar canónicamente normalizado podemos establecer $a_1=1/2$ .

Vamos a tu pregunta. En primer lugar, hay que identificar la dimensión correcta de la amplitud de dispersión (y esto depende de la definición de la matriz S y de la normalización de los estados del espacio de Hilbert). Yo utilizo la misma normalización relativista de los estados y la definición de $S-$ matriz como en el libro de Schwartz de QFT. Para un $2\rightarrow 2$ dispersión en $d=4$ la amplitud tiene dimensión

$$ [\mathcal{A}_{2\rightarrow 2}] = [\hbar]^{-1} = [g_*]^2\,\qquad \qquad \qquad (3) $$ De hecho, mi contribución de amplitud de dispersión de $g_*^2\phi^4$ va como $\sim g_*^2$

Tenga en cuenta que la dimensión de la amplitud depende de las dimensiones del espacio-tiempo y del número de partículas dispersas. En general $d$ dimensión la $n-$ La amplitud del punto tiene una dimensión $d-n\,d/2+n$ .

La Ec.(3) significa que términos como $g_*^2 (E^2/\Lambda^2 + E^4/\Lambda^4)$ se permiten genéricamente si hay operadores irrelevantes que contribuyen en estos órdenes en la energía; aquí $E$ es la energía del centro de masa $E= \sqrt{s}$ con $s$ la variable Mandelstam.

En el ejemplo de la teoría de 4-Fermi, se puede identificar (en mi normalización)

$$ G\simeq \frac{g_*^2}{\Lambda^2} $$

Si tiene el operador $ \frac{g_*^2}{\Lambda^2} (\bar{\psi}\gamma^\mu \psi)^2$ la única contribución a nivel de árbol es $g_*^2\, s/\Lambda^2 $ . La contribución proporcional a $G^2$ proviene de un bucle. Esto se debe a que los bucles llevan una potencia de $\hbar$ que anula la dimensión del extra $G$ inserción. Cuando se trata de bucles y renormalización, hay que fijar un esquema de renormalización.

$$ \text{loop contribution}\simeq \frac{g_*^4}{\Lambda^4} (\#) $$

¿Qué ponemos en $(\#)$ ?

Si utiliza regularización de corte (es decir, cortas la integral de los momentos del bucle) puedes tener una combinación de potencias de $s$ et $\Lambda$ Sin embargo, estas contribuciones son local y pueden ser eliminados eligiendo contra-términos; no son físicos. La única contribución física de la integral de bucle es un logaritmo, a saber $s^2 log(s/\Lambda^2)$ .

Creo que Zee está discutiendo dos escenarios diferentes de forma muy general, sin entrar en detalles y sin discutir la renormalización de los campos

• Corte muy alto (pero sabes que la teoría tiene un corte físico), energías de sondeo pequeñas. La integral de bucle $I = \int d^4 k \frac{1}{k}\frac{1}{k+p}$ donde $p$ es un momento externo, tiene dimensión $2$ . Entonces, el resultado puede ser $s$ o $\Lambda^2$ . En el supuesto $s\ll \Lambda$ usted toma $\Lambda^2$ posiblemente multiplicando un tronco.

• Usted podría creer que su teoría está completada por el UV y que puede ser sondeada a cualquier energía; es decir, no tenemos un corte y la única cantidad dimensionable es la energía del centro de masa (y tal vez la escala de renormalización o las masas de las partículas que, sin embargo, se suponen pequeñas); entonces, el resultado del bucle puede ser $s$ posiblemente multiplicando un tronco.

Obsérvese que en una QFT masiva (completada con UV) la amplitud está restringida por el límite de Froissart a estar limitada desde arriba, es decir $|\mathcal{A}(s)| < s\cdot log^2(s)$ .

Answer 2

Estoy de acuerdo en que la presentación de Zee es insatisfactoria, y me gusta más la presentación de Srednicki (capítulo 18). En lugar de presentar argumentos basados en el análisis dimensional, Srednicki presenta el análisis dimensional como un atajo útil para averiguar si un diagrama de Feynman dado contiene un bucle entero divergente, utilizando algunos argumentos directos pero no obvios de la teoría de grafos. También le puede gustar la conferencia 1 de estas notas que da un argumento más áspero en el espíritu de Zee, pero que creo que es mucho más claro que el de Zee.

Answer 3

No hay nada malo en la presentación de Zee. En el primer caso, discute la primera corrección cuántica para $G$ en el que corta la integral en $\Lambda$ . Entonces las únicas cantidades dimensionales en el juego son $G$ et $\Lambda$ y encuentra que las correcciones van como $G\,\Lambda^2$ y argumenta por qué eso es enfermizo. Por supuesto, esta no es la historia completa, por ejemplo, las correcciones a las masas escalares también van como $\Lambda^2$ y uno puede matarlos por los correspondientes contratestimonios. El verdadero problema aquí es que se acabará necesitando introducir infinitos contratemas, por ejemplo en el $G^2$ también habrá una interacción de 6 fermiones. Por lo tanto, la teoría ya no es predictiva.

En el segundo caso, analiza los experimentos de dispersión y explica por qué no se puede confiar en la teoría si $E\gtrsim G^{-1/2}$ . En contraste con el caso anterior, está discutiendo las amplitudes a nivel de árbol, y aquí las únicas cantidades dimensionales son $E$ et $G$ .

Ambas observaciones te dicen que las teorías de campo cuántico (de partículas puntuales) en 4D con acoplamientos de dimensión de masa negativa no son UV completas.