Soluciones enteras de$x^3-19 = y^2$

Question

Se me pide que encuentre todas las soluciones enteras de la curva elíptica$x^3-19 = y^2$. Hasta ahora he notado que$x=7$ y$y=18$ es una solución y también he notado que$x$ y$y$ son coprime y que$x$ debe estar impar.

He estado intentando trabajar en$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$, pero desde$19 \equiv 1 \pmod{4}$, no he encontrado una forma de relacionar esta ecuación con el anillo de números enteros de$K$.

Answer 1

Asi que $x^3=(y+\sqrt{-19})(y-\sqrt{-19})$. Uno muestra de la forma habitual que$y+\sqrt{-19}$ y$y-\sqrt{-19}$ son coprime en$R=\Bbb Z[\frac12(1+\sqrt{-19})]$. Entonces$R$ es un PID ($\Bbb Q(\sqrt{-19})$ tiene el número de clase$1$) y sus únicas unidades son$\pm1$. Entonces obtenemos$y+\sqrt{-19}=\alpha^3$ con$\alpha\in R$. Esto significa que$$\left(\frac{a+b\sqrt{-19}}2\right)^3=y+\sqrt{-19}$ $ donde$a$ y$b$ tienen la misma paridad. Entonces y $a^3-57ab^2=8y$. Esta última ecuación reduce$3a^2b-19b^3=8$ y$a$ a un conjunto finito.