¿La invariante positiva de Yamabe implica que todas las métricas en esa clase conformal tienen una curvatura escalar positiva?

Question

Aquí voy a tomar el Yamabe invariantes de la $(M,g)$ a la media de la conformación invariante $Y(g)$ como se da aquí, no el supremum $\sigma(M)$ sobre todas las métricas $g$ (que a veces también es llamado el Yamabe invariante). Me siento como mi falta de visualización de la conformación de los cambios de métrica se me impide responder a lo que podría ser una pregunta muy básica:

Dado un colector de Riemann $(M,g)$ de la dimensión de $\geq 3$,$Y(g)>0$, no todas las métricas en la conformación de la clase de $g$ (es decir, las métricas de $e^{2f}g$ para las funciones lisas $f$) tienen todas partes positivas escalar de curvatura? $(*)$

En otras palabras (por el problema de Yamabe), si $(M,g)$ admite una conformación métrica de constante positiva escalar de curvatura, se hace cada conformación métrica positivos escalar de curvatura? Como una posible contraejemplo, se podría encontrar una métrica conformes a la norma métrica en la esfera que tiene un no positivo escalar de curvatura en algún lugar?

Si la respuesta a la $(*)$ es no, podría no existir una métrica en la conformación de la clase de $g$ con todo negativo escalar de curvatura?

Answer 1

Si $\tilde g = e^{2 \varphi}g $ son conformemente métricas relacionadas, la correspondiente escalar de curvatura están relacionados por la transformación de la ley de $$\tilde S = e^{-2\varphi}\left(S + 2(n-1)\Delta_g\varphi - (n-2)(n-1)|\nabla\varphi|_g^2\right).\tag 1 $$

Así, el hecho de que $g$ (por ejemplo,) $S=1$ lugares no pointwise restricción en $\tilde S$: la construcción de una función suave $\varphi$ a tiene un máximo local de $1$$p$, pero muy pronto se caen cerca, podemos hacer $\tilde S(p)$ negativo con arbitrariamente grande magnitud. Por lo tanto la respuesta a la $(*)$ es no.

La respuesta a su pregunta de seguimiento, sin embargo, podría ser más satisfactorio: Si $S\ge 0$ en todas partes y $\varphi$ alcanza su mínimo en algún punto de $p$ (por ejemplo, si $M$ es compacto), luego en $p$ tenemos (de nuevo desde $(1)$) $$\tilde S = e^{-2 \varphi}(S + 2(n-1)\Delta_g \varphi) \ge e^{-2 \varphi} S \ge 0,$$ así que al menos en el caso compacto, una métrica con (en todas partes) positivo escalar de curvatura no puede ser conformemente relacionadas la una con (en todas partes) negativo escalar de curvatura.