La prueba de la divergencia de $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{x}dx$ sin evaluar la integral

Question

Me gustaría probar ese $$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{x}dx$$ diverge sin llegar a la evaluación de la integral. Hay una convergencia de la prueba de cálculo o análisis real que puede demostrar que esta integral diverge?

Gracias.

Edit: Alguien señaló que este es un posible duplicado. Sin embargo, la cuestión planteada como un posible duplicado pregunta acerca de $\sin(x^2)$, no se trata de $\sin^2(x)$.

Answer 1

Vemos que no hay ningún problema en torno a $0$ por lo que el problema radica en la convergencia de: \begin{align} \int^\infty_M \frac{\sin^2(x)} {x} dx \end{align} Para $M>0$, vamos a tomar muy grande (se puede ver la razón en la línea siguiente).

Vamos a comprobar que se aparta por un (macarra) contradicción. Asumir que converge. Entonces sabemos que: \begin{align} \int^\infty_{M} \frac{\sin^2(x+\pi/2)}{x+\pi/2}dx \end{align} converge demasiado. Por lo tanto, por la comparación de los siguientes converge también: \begin{align} \int^\infty_{M} \frac{\sin^2(x+\pi/2)}{x}dx = \int^\infty_{M} \frac{\cos^2(x)}{x}dx \end{align} Pero entonces tenemos que la siguiente también es convergente ya que la suma de convergentes integral es convergente: \begin{align} \int^\infty_{M} \frac{\sin^2(x)+\cos^2(x) }{x}dx =\int^\infty_M\frac{1}{x} dx \end{align} Creo que esta es una hermosa contradicción. Por lo tanto la integral que nos estaba considerando no era convergente en el primer lugar.

Answer 2

Es una divergente integral de Kronecker del lexema, ya $\sin^2(x)$ es un no-negativo de la función con el valor medio $\frac{1}{2}$. En términos más explícitos, por integración por partes tenemos

$$ \int_{\pi}^{N\pi}\frac{\sin^2(x)}{x}\,dx =\color{blue}{\left[\frac{1}{2}-\frac{\sin(2x)}{4x}\right]_{\pi}^{N\pi}}+\color{red}{\frac{1}{2}\int_{\pi}^{N\pi}\frac{dx}{x}}+\color{blue}{O(1)} $$ donde el azul términos son limitados, pero el rojo término es igual a $\frac{1}{2}\log N$.

Answer 3

$$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{\sin^2(x)}{x}\,\mathrm{d}x &=\sum_{k=1}^\infty\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\sin^2(x)}{x}\,\mathrm{d}x\\ &\ge\sum_{k=1}^\infty\frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\sin^2(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=1}^\infty\frac1{2k} \end{align} $$

Answer 4

Integrar de$x=n\pi$$x=(n+1)\pi$. Con el cuadrado de la sinusoidal ser no negativo el integrando es mayor que $(\sin^2x)/((n+1)\pi)$. A la conclusión de que la integral definida de $x=n\pi$ $x=(n+1)\pi$es mayor que $\pi/(2(n+1))$ y, a continuación, compare el total integral de $x=0$ $x=\infty$a la serie armónica.