Si $f(g(x))=x$ es $f$ ¿una función inyectiva?

Question

Sea $ f:\mathbb R\to \mathbb R $ . Si $f(g(x))=x$ entonces es $f$ ¿una función inyectiva?

Bueno, he demostrado que es verdad. Pero honestamente tengo la fuerte sensación de que mi prueba es errónea. Aquí está mi prueba:

Supongamos que $f(a_1)=f(a_2) = x$ y queremos demostrar que $a_1 = a_2$ .

si $f(a_1)=f(a_2) = x,$ entonces $a_1 = g(x)$ y $a_2 = g(x) $ . significado $a_1 = a_2$ .

Por tanto, f es inyectiva.

¿Está mal mi prueba? Supongo que no sólo mi prueba es errónea, sino que no es cierta en absoluto. Pero me cuesta encontrar un ejemplo que lo contradiga.

Answer 1

Recordemos la definición de $\arctan$ :

$\arctan$ es la única función continua $\Bbb R\to \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ tal que $\tan\arctan x=x$ para todos $x\in\Bbb R$ .

Ahora bien, está claro que $\tan$ puede ampliarse a una función $\Bbb R\to\Bbb R$ asignando valores arbitrarios a $x=k\pi+\frac\pi2$ . ¿Sería tal extensión inyectiva?

Answer 2

Es inyectiva en el rango de $g$ pero no necesariamente lo contrario.

Para ver que es inyectiva en este conjunto, supongamos $a\neq b$ son dos elementos en el rango de $g$ . Existen $x\neq y$ tal que $a=g(x)$ y $b=g(y)$ . Entonces $f(a)=f(g(x))=x$ y $f(b)=f(g(y))=y\neq f(a).$

El problema es que $g$ puede no ser suryectiva. Si no lo es entonces la relación que tienes no te dice nada en absoluto sobre el comportamiento de $f$ en valores que no se pueden obtener aplicando $g$ por lo que en este caso no hay razón para la inyectividad. Mientras escribía, G. Sassatelli ha dado un ejemplo de esto :)

Answer 3

Tu prueba es defectuosa como señalan los comentarios, pero más fundamentalmente es defectuosa porque la afirmación es falsa.

$f$ sólo tiene que ser inyectiva en el intervalo de $g$ .

Por ejemplo $g(x) = e^x$ y definir $f$ como

\begin{equation} f(x) = \begin{cases} \ln(x)& \mathrm{if}\, x > 0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases} \end{equation}

Answer 4

De hecho, es no cierto.

Ejemplo: Defina $f(x_1,x_2,x_3, \cdots)=(x_2,x_3,x_4,\cdots)$ y $g(x_1,x_2,x_3,\cdots)=(0,x_1,x_2,x_3,\cdots).$

Entonces $f(g(x_1,x_2,x_3, \cdots))=f(0,x_1,x_2,x_3,\cdots)=(x_1,x_2,x_3, \cdots).$ Pero $f$ no es inyectiva.

Sin embargo, es cierto que $g$ es inyectiva.

Sea $g(x)=g(y).$ Entonces $f(g(x))=f(g(y)).$ Esto implica $x=y.$ Por lo tanto, $g$ es inyectiva.

Answer 5

Si $f(g(x))=x$ para todos $x$ entonces $f$ está dentro. No sé si estás utilizando la notación habitual para la composición de funciones, si es así, entonces el resultado no es cierto. Si $g(f(x))=x$ para todos $x$ entonces $f$ es uno-uno.