Secuencias convergentes y puntos de acumulación

Question

Definiciones:

Dejemos que $a$ sea un punto de acumulación de $A$ . Entonces $\forall \ \epsilon >0$ , $B_{\epsilon}(a) \setminus \{a\}$ contiene un elemento de $A $ .

Pregunta:

Tengo dos preguntas: si $(a_n)_{n\in N}$ es una secuencia convergente en $\mathbb{R}$ entonces,

1. ¿El conjunto $\{a_n\}$ ¿tiene exactamente un punto de acumulación? ¿O podría tener más de uno?

2. Si es así, ¿se $(a_n)_{n\in N}$ ¿convergen necesariamente a dicho punto de acumulación?

Estoy tentado de decir que no a (1), pero me temo que me estoy perdiendo algo. Mi contraejemplo a (1) es $\{a_n\} = \{ 4, 3, 2, 1, 0,0,0,...\}$ (es decir, insertar $0$ s después del cuarto elemento). Entonces el conjunto no tiene punto de acumulación y converge a 0. ¿Es correcto?

Answer 1

Si $\{a_{n}\}$ tiene un punto de acumulación, digamos, $a$ y $(a_{n})$ es convergente. A continuación, elija algún $n_{1}$ tal que $a_{n_{1}}\in B_{1}(a)-\{a\}$ . A continuación, elija algunos $n_{2}$ tal que $B_{1/2}(a)-\{a,a_{1},...,a_{n_{1}}\}$ Procediendo de esta manera tenemos $a_{n_{k}}\rightarrow a$ . Desde $(a_{n})$ es convergente, se tiene $a_{n}\rightarrow a$ .

Aquí utilizo la siguiente definición:

$a$ es un punto de acumulación para $A$ si para cada $\delta>0$ , $(B_{\delta}(a)-\{a\})\cap A\ne\emptyset$ .

Y nótese que en la topología de ${\bf{R}}$ Al ser un punto de acumulación de este tipo también implica que $(B_{\delta}(a)-\{a\})\cap A$ contiene infinitos puntos.

Answer 2

Estoy llamando $x$ un punto de acumulación del conjunto $A$ si $(B(x,\epsilon) \cap A)\setminus \{x\} \neq \emptyset$ para todos $\epsilon>0$ .

Supongamos que $a_n \to a$ .

El conjunto $\{a_n\}_n$ puede tener como máximo un punto de acumulación que tendría que ser $a$ . Si $b \neq a$ entonces hay algo de $\epsilon>0$ tal que $B(b,\epsilon)$ contiene un número finito de puntos, por lo que $b$ no puede ser un punto de acumulación.

Obsérvese que la secuencia $a_n = 1$ tiene $\{a_n\}_n = \{1\}$ que no tiene puntos de acumulación.

En general, el conjunto $\{a_n\}_n$ tendrá $a$ como punto de acumulación si para todos $N$ hay algo de $n \ge N$ tal que $a_n \neq a$ .

Answer 3

La definición habitual de un punto de acumulación (para un subconjunto de $\mathbb{R}$ ) es la siguiente:

Dejemos que $A \subseteq \mathbb{R}$ . Decimos que $a$ es un punto de acumulación de $A$ si para todo $r > 0$ el conjunto $B(a,r) \cap A \setminus \{a\}$ es no vacía. Es decir, toda bola centrada en $a$ contiene un punto de $A$ que no sea $a$ sí mismo.

Aunque la secuencia $(a_n)$ converge, el conjunto $\{ a_n \}$ no necesita tener ningún punto de acumulación. Por ejemplo, cualquier conjunto constante $\{a, a, a, \dotsc, \} = \{a\}$ no tiene ningún punto de acumulación (ya que ninguna bola centrada en $a$ contiene cualquier punto del conjunto que no sea $a$ pero la secuencia $(a,a,a,\dotsc)$ converge a $a$ . Por otro lado, si $\{a_n\}$ tiene un punto de acumulación, y $(a_n)$ es convergente, entonces el punto de acumulación es necesariamente el límite.

Answer 4

He aquí una prueba algo más general de esto:

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico de Hausdorff, y sea $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb N}$ sea una secuencia en $X$ que converge a $x\in X$ . Supongamos que $y\in X$ es un punto de acumulación de $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb N}$ tal que $x\neq y$ . Entonces, como $X$ es Hausdorff, hay vecindades abiertas disjuntas $U$ y $V$ de $x$ y $y$ respectivamente. Dado que $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb N}$ converge a $x$ Hay un $N\in\mathbb N$ tal que $x_n\in U$ siempre que $n\geq N$ . Sin embargo, esto implica que hay como máximo $N-1$ elementos de $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb N}$ en $V$ diferente de $y$ . Denotemos este conjunto de elementos finitos por $\left\{y_n\right\}_{n=1}^m$ . De nuevo, ya que $X$ es Hausdorff, hay vecindades abiertas disjuntas $U_n$ y $V_n$ de $y_n$ y $y$ respectivamente. Entonces $\bigcap_{n=1}^m V_n$ es una vecindad abierta de $y$ que no contiene elementos de $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb N}$ , lo cual es una contradicción.

Answer 5

Sí, tienes razón. Si $x_n$ es un convergente secuencia, entonces

• $\{x_n\}$ tiene un punto de acumulación si y sólo si $\{x_n\}$ es infinito.
• $\{x_n\}$ tiene como máximo un punto de acumulación y si lo tiene, entonces coincide con el límite.

Ninguna de estas afirmaciones es cierta para las escuadras no convergentes.