Cociente de un anillo cociente

Question

Estoy tratando de comprender el cociente $\Bbb Z[\sqrt{47}]/(2, 1 +\sqrt{47})$, con el fin de averiguar si es o no $(2, 1 + \sqrt{47})$ es un alojamiento ideal en $\Bbb Z[\sqrt{47}]$. Yo creo que es, pero mis cálculos parece ser que me da algo que no está de acuerdo con esto, por lo que sea no es un alojamiento ideal o estoy haciendo algo muy mal.

Desde $\Bbb Z[\sqrt{47}] \cong \Bbb Z[X]/(X^2 - 47)$, estoy escribiendo

$$ (\Bbb Z[X]/(X^2 - 47))/(2, X^2 - 2X - 46) $$

donde $X^2 - 2X - 46$ es un monic polinomio irreducible con $1 + \sqrt{47}$ como una raíz. Es este el paso correcto? Si es así, entonces creo que de ello se sigue que

$$ (\Bbb F_2[X]/(X^2))/(\overline{X^2 - 2X - 46}) $$

donde $\overline{.}$ denota la reducción de mapa. El problema es que esta es la cero-ideal en $\Bbb F_2[X]/(X^2)$, y este anillo finito no es una integral de dominio, por lo que la conclusión es que el $(2, 1 + \sqrt{47})$ no es un alojamiento ideal.

Que pasos aquí (si los hubiera) son correctas? Es cualquier cuerpo capaz de mostrarme cómo podrían hacerlo si no es correcta?

Answer 1

El anillo es $$\mathbb{Z}[\sqrt{47}]/(2,1+\sqrt{47}) \cong(\mathbb{Z}[X]/(X^2-47))/(2,1+X) \cong\mathbb{Z}[X]/(X^2-47,2,1+X)\\ \cong \mathbb{Z}_2[X]/(X^2-47,1+X)= \mathbb{Z}_2[X]/(X^2-1,1+X) =\mathbb{Z}_2[X]/(1+X)\cong \mathbb{Z}_2$$ donde $\mathbb{Z}_2 = \mathbb{Z}/(2)$.

¿Cómo llegaste a la $(\Bbb Z[X]/(X^2 - 47))/(2, X^2 - 2X - 46)$ ?

Es $\cong \mathbb{Z}[\sqrt{47}]/(2,(1+\sqrt{47})^2)=\mathbb{Z}[\sqrt{47}]/(2) \cong \mathbb{Z}_2[X]/(1+X)^2$

Answer 2

Permite indicar $R=\mathbb{Z}\left[\sqrt{47}\right]$, $I=\left<2\right>$ y $J=\left<1+\sqrt{47}\right>$. Por el tercer teorema de isomorfismo

$$\mathbb{Z}\left[\sqrt{47}\right]/\left<2,1+\sqrt{47}\right>=R/\left(I+J\right)\cong\left(R/J\right)/\left(\left(I+J\right)/J\right)$$

Como @Quasicoherent señaló, he cometido un error diciendo que el $\mathbb{Z}\left[\sqrt{47}\right]/\left<1+\sqrt{47}\right>\cong\mathbb{Z}$. De hecho

$$R/J=\mathbb{Z}\left[\sqrt{47}\right]/\left<1+\sqrt{47}\right>\cong\mathbb{Z}_{46}$$

desde $\left<1+\sqrt{47}\right>\ni-\left(1-\sqrt{47}\right)\left(1+\sqrt{47}\right)=-\left(1-47\right)=46$ y

$$\left(a+b\sqrt{47}\right)\left(1+\sqrt{47}\right)=\left(a+47b\right)+\left(a+b\right)\sqrt{47}$$

es un número entero iff $a=-b$ fib es $46b$ algunos $b$. Así

$$\mathbb{Z}\left[\sqrt{47}\right]/\left<2,1+\sqrt{47}\right>\cong\mathbb{Z}_{46}/\left<2\right>=\left(\mathbb{Z}/46\mathbb{Z}\right)/\left(2\mathbb{Z}/46\mathbb{Z}\right)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_{2}$$

y $I+J=\left<2,1+\sqrt{47}\right>$ es primo.