no es soluble en cualquier $\det(A^4+I)=29$ $A\in M_4(\mathbb Z)$

Question

Recientemente me encontré con el siguiente problema.

Dado cualquier $A \in M_4(\mathbb Z)$, muestran que el $\det(A^4+I)\ne29$, donde $I$ denota la matriz identidad.

Lado izquierdo puede escribirse como el producto de $1+{\lambda _i}^4$ donde $\lambda _i$ denota los valores propios de la A. Usando la desigualdad de AM-GM, encontré que A cualquiera es inversible en $M_4(\mathbb Z)$ o tiene un determinante cero. No puedo ir más lejos. ¿Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Considerar el % de matriz $A$modulo $29$. El $A^4+I$ de la matriz tiene determinante $29$ por lo tanto tiene rango $3$ y nulidad cero considerada como una matriz sobre $\Bbb F_{29}$. Tiene un único vector nulo $u$ hasta multiplicación escalar: $(A^4+I)u\equiv 0\pmod{29}$ y $(A^4+I)v\equiv 0\pmod{29}$ $\newcommand{\la}{\lambda}v\equiv\la u\pmod{29}$ implica. En particular, tomar $v=Au$, encontramos $Au=\la u\pmod{29}$ $\la$. Entonces $\la^4+1\equiv0\pmod{29}$. Pero como $8\nmid(29-1)$, esta congruencia es insoluble.