Cierto, tiene su propia constante.
En primer lugar, debemos notar que la ecuación:
$$x=(1+\frac{1}{x})^n$$
tiene una solución para cualquier $n$, y que estos están aumentando con el aumento de la $n$ que es fácil de ver si podemos escribir lo anterior como:
$$\frac{n+1}{n}=\frac{\ln(x+1)}{\ln(x)}$$
A continuación, podemos ver que para inicial $0 < x_1 < +\infty$ el segundo término se convierte en limitada a $\underline{x_2} = 1 < x_2 < 8 = \overline{x_2}$ y por muy simple de estimación se puede concluir que la solución de $\beta_n$ $x=(1+\frac{1}{x})^n$ es siempre
$$\underline{x_n} < \beta_n < \overline{x_n}$$
donde $x_n$ es un término en el por encima de la recursividad.
Ahora, podemos observar que el comportamiento de la recursividad está emparejado. Para los valores iniciales $x_2$ cerca de $1$, los términos con el primer par de índices (índices que son números primos, incluso con índices) comenzará tiende a $1$ y aquellos con impar primer índices hasta el infinito, mientras que para los valores de $x_2$ cerca de $8$ vamos a tener exactamente el comportamiento opuesto.
Desde $x_n$ es en realidad nada más que algunos de los más complicados de la función racional $\frac{P(n)}{Q(n)}$ hemos continuidad y, obviamente, para cualquier valor de $x_1$ el valor será positivo. Además de que, como estamos deslizando $x_2$ $2$ hacia $8$, todos los términos con incluso el primer índices comenzará a aumentar sus valores, mientras que los términos con los impares primer índices será la disminución de sus valores. (No tenemos que examinar los valores de $x_2$ bajo $2$ como el primer cero de $x=(1+\frac{1}{x})^n$ $n=2$ es de alrededor de $2.14...$)
Ahora, si queremos que $x_n$ tiene algún valor $b$, necesitamos establecer $x_1$, de modo que podemos llegar a ese valor. Vamos a llamar a $x_1$ con ese valor que establece $x_n=b$ el iniciador de la $b$ $n$ y se marca con $R_n(b)$.
Y ahora comienza el juego. Nos movemos $x_2$ lentamente de $2$ hacia $8$ hasta que no tengamos el valor en $x_{2}$ $x_{3}$ igual. Obviamente, esta va a ser la solución de $x=(1+\frac{1}{x})^5$. Seguimos aumentando $x_2$, hasta alcanzar los $x_{3}$ $x_{4}$ igualdad de condiciones y así sucesivamente. (El exponente en la ecuación es el primer $x=(1+\frac{1}{x})^{p_n}$). Observe que cuando tenemos igualdad en $x_{n}$ $x_{n+1}$ todos los valores anteriores será estrictamente en orden creciente porque primero fueron iguales y nos mudamos $x_2$ en la dirección correcta para hacer de ellos aparte.
Con esto, queremos seguir ajustando $x_1=R_n(\beta_{p_n})$ y esto hace que nuestra constante:
$$\alpha_p=\lim_{n \to \infty} R_n(\beta_{p_n})$$
(Si no $x_1$ la limitada constante, podríamos hablar de $x_2$ ya que es limitado. Pero podemos tomar un muy simple de estimación como $2<x_1<3$ y analizar la forma en que el sistema se comporta a ver que $x_1$ es limitada).
Si analizamos la situación de partida de la disminución de $x_2$ $8$ hacia $2$, podemos ver que esta constante es único, ya que para cualquier otro valor, cada segundo término comienza a llegar a $1$, mientras que la otra mitad va al infinito, más pronto o más tarde.
Esto le da un simple algoritmo para el cálculo de $\alpha_p$ así: encontrar la solución de $x=(1+\frac{1}{x})^{p_n}$ e ir en reversa
$$x_{n-1}=\frac{1}{\sqrt[p_n]{x_{n}}-1}$$
hasta llegar a $x_1$.
Para los 50 primeros números primos tenemos:
$$\alpha_p \approx 2.53655387425979$$
P. S.
Con el fin de hacer el anterior razonamiento en una completa prueba, tenemos que demostrar que por encima de la $x_{n-1}=\frac{1}{\sqrt[p_n]{x_{n}}-1}$ a partir de $\beta_{p_n}$ es una disminución de serie (dentro de algunos de los posibles pero resonable excepciones que no afectan límite) y que para cualquier $\beta_{p_n}$ el avance de la serie de $x_{n+1}=(1+\frac{1}{x_n})^{p_n}$ no puede ir estrictamente hasta el infinito.
