¿Por qué puede ser el campo de Klein-Gordon que Fourier ampliado en términos de los operadores escalera?

Question

Utilizando el plano de onda ansatz $$\phi(x) = e^{ik_\mu x^\mu}$$ la solución de Klein-Gordon ecuación de $(\Box + m^2) \phi(x) =0$ puede ser escrita como una suma de soluciones, ya que la ecuación es lineal y el principio de superposición se mantiene, como $$\phi(x) = \sum_{{k}} \left( Ae^{ik_\mu x^\mu} + Be^{-ik_\mu x^\mu} \right).$$ ¿Cómo hace uno para encontrar los coeficientes? Más exactamente, ¿por qué no te salen son de aniquilación y creación de los operadores con el factor de $1/\sqrt{2E}$?

Los diversos libros y fuentes he comprobado solo me confundió aún más. Peskin y Schroeder, simplemente enchufe en la integral de la ecuación (modos de Fourier) por analogía con el oscilador armónico solución. Schwartz nos da una muy extraña razón que el factor de energía es sólo por conveniencia. En Srednicki el autor escribe como $f(k)$ sin forma explícita. En Mandl y Shaw, que acaba de estado la ecuación sin justificación alguna.

Mi mejor conjetura es que los que vienen desde el proceso de cuantización, pero ¿cómo hacerlo en este caso explícitamente?

Answer 1

Usted podría sentirse más cómodo si ejecutamos el razonamiento "en reversa" un poco. Estoy básicamente haciendo un recuento de lo de todo tipo de textos, pero sin saltar hacia adelante en la interpretación.

• Comenzamos con el canónicamente cuantificada de Klein-Gordon campo $\phi(\mathbf{x})$ y su conjugado impulso $\pi(\mathbf{x})$, por lo que el $[\phi(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{y})] \propto i \delta(\mathbf{x}-\mathbf{y})$.
• Sabemos que en general la física es más bonito en el espacio de Fourier, especialmente para los campos libres donde las ondas planas son soluciones clásicas, por lo que definimos las transformadas de Fourier $\phi(\mathbf{p})$$\pi(\mathbf{p})$.
• Por analogía con el oscilador armónico, tenemos la sospecha de que la cantidad $$a_{\mathbf{p}} \propto \phi(\mathbf{p}) + i \pi(\mathbf{p})/\omega_p$$ será agradable para trabajar. En esta etapa, $a_{\mathbf{p}}$ es sólo un operador con ninguna interpretación física.
• Cuando se calculan las relaciones de conmutación, nos encontramos con $$[a_{\mathbf{p}}^\dagger, a_{\mathbf{q}}] \propto \delta(\mathbf{p}-\mathbf{q})$$ con un molesto de la energía dependiente de la constante de proporcionalidad, y todos los otros conmutadores de cero.
• De pregrado de la mecánica cuántica, estas relaciones de conmutación implica que la aplicación de $a_{\mathbf{p}}^\dagger$ da a una escalera de estados para cada valor de $\mathbf{p}$. Luego nos físicamente interpretar $(a_{\mathbf{p}}^\dagger)^n |0 \rangle$ a contener $n$ de las partículas de impulso $\mathbf{p}$, por lo que el $a_{\mathbf{p}}^\dagger$ realmente es una creación del operador, es decir, se crea partículas.
• El único problema es que esos estados no están normalizados, y llegamos a un molesto dependiente de la energía factor de normalización. (Para ver esto, tratan de calcular la norma de $a_{\mathbf{p}}^\dagger |0 \rangle$ el uso de la conmutación de la relación anterior). El rastreo hacia atrás, nos encontramos con que desaparece si se sustituye $a_{\mathbf{p}}$$\sqrt{\omega_{\mathbf{p}}} a_{\mathbf{p}}$, recuperando la definición estándar.

Cuando Peskin hace todo esto en un solo paso, se debe ver como un muy inspirado definición (donde hemos esbozado donde la inspiración puede venir de arriba), no es una declaración que tiene que ser demostrado. Es una versión más avanzada de adivinar una sinusoide para resolver el oscilador armónico.

Answer 2

Vamos a empezar con el ansatz (voy a asumir su mayoría de más de la métrica de la firma)

\begin{equation} \hat\phi(x) = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^{3/2}}\left(\hat A_\mathbf{k} e^{i k\cdot x} + \hat B_\mathbf{k}e^{-ik\cdot x}\right) \end{equation} donde $\hat A_\mathbf{k}$ $\hat B_\mathbf{k}$ son algunos arbitraria operadores y $k^0 = E_k$. Primero nos tenga en cuenta que $\phi$ es un verdadero campo que significa que debemos tener $B_\mathbf{k} = A_\mathbf{k}^\dagger$. También un campo cuántico debe obedecer a la igualdad de tiempo de conmutación relación

\begin{equation} \left[ \hat \phi(\mathbf{x},t),\hat{\dot\phi} (\mathbf{y},t)\right] = i\delta(\mathbf{x-y}). \end{equation} Conectar nuestro ansatz en esta relación podemos obtener la condición de

\begin{equation} 2E_k \left[\hat A_\mathbf{k}, \hat A_\mathbf{k'}^\dagger \right] = \delta(\mathbf{k-k'}) \end{equation} Esto es sólo la escalera operador de conmutación relación con un extra de factor de normalización. Para mayor comodidad podemos definir un reescalado operador $\hat a_\mathbf{k} \equiv \sqrt{2E_k}\hat A_\mathbf{k}$ a que el convencional de conmutación relación.

Cálculo detallado

Tomar el tiempo derivado de la esfera de obtener

\begin{equation} \hat{\dot \phi}(x) = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^{3/2}}\left(-iE_k\hat A_\mathbf{k} e^{-i E_kt + i\mathbf{k\cdot x}} + iE_k\hat A_\mathbf{k}^\dagger e^{i E_kt - i\mathbf{k\cdot x}}\right). \end{equation}

A continuación, el colector entre el campo y su tiempo derivativo (más generalmente, su conjugado) es

\begin{eqnarray} \left[ \hat \phi(\mathbf{x},t),\hat{\dot\phi} (\mathbf{y},t)\right] = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{k}\mathrm{d}^3 \mathbf{k'}}{(2\pi)^{3}}\left\{iE_{k'}\left[\hat A_\mathbf{k},\hat A_\mathbf{k'}^\dagger\right] e^{-i(E_k-E_{k'})t+i(\mathbf{k\cdot x - k'\cdot y)}} + iE_k\left[\hat A_\mathbf{k'},\hat A_\mathbf{k}^\dagger\right] e^{i(E_k-E_{k'})t-i(\mathbf{k\cdot x - k'\cdot y)}}\right\} = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{k}\mathrm{d}^3 \mathbf{k'}}{(2\pi)^{3}}\left\{iE_{k'}\left[\hat A_\mathbf{k},\hat A_\mathbf{k'}^\dagger\right] e^{-i(E_k-E_{k'})t} + iE_k\left[\hat A_\mathbf{-k'},\hat A_\mathbf{-k}^\dagger\right] e^{i(E_k-E_{k'})t}\right\}e^{i(\mathbf{k\cdot x - k'\cdot y)}} \end{eqnarray} donde hemos utilizado el hecho de que los operadores conmutan con ellos mismos y cambiado las variables $\mathbf{k\rightarrow -k}$, $\mathbf{k'\rightarrow -k'}$ en el segundo término. Esto debe ser igual a la función delta de

\begin{equation} i\delta(\mathbf{x-y}) = i \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^3}e^{i\mathbf{k\cdot(x-y)}} = i \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{k}\mathrm{d}^3 \mathbf{k'}}{(2\pi)^3}\delta(\mathbf{k-k'})e^{i(\mathbf{k\cdot x - k'\cdot y)}} \end{equation} lo que significa que debemos tener

\begin{equation} \left[\hat A_\mathbf{k},\hat A_\mathbf{k'}^\dagger\right] + \left[\hat A_\mathbf{-k'},\hat A_\mathbf{-k}^\dagger\right] = \frac{\delta(\mathbf{k-k'})}{E_k} \end{equation}

a que $\left[\hat A_\mathbf{k},\hat A_\mathbf{k'}^\dagger\right]=\delta(\mathbf{k-k'})/2E_k$ es la solución.

Answer 3

La acción funcional de la real escalares del campo es: $$ \mathcal{A} = \frac{1}{2} \int\mathrm{d}^4 x \left(\partial_a \phi \partial^a \phi - m^2 \phi^2 \right) = \int \mathrm{d}t \int \frac{d^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^3} \frac{1}{2}\left[ |\dot{q}_{\mathbf{k}}|^2 - \omega^2_{\mathbf k}|q_{\mathbf k}|^2 \right]$$ donde la segunda igualdad se refiere a un número infinito de osciladores armónicos, relacionados con el campo escalar por un espacio de Fourier: $$ \phi(t,\mathbf x) = \int \frac{\mathrm{d}^{3}\mathbf{p}}{(2\pi)^3}\;q_{\mathbf{p}}(t)e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}$$ Tenga en cuenta que estamos operando en la imagen de Heisenberg, donde sólo los operadores de evolucionar en el tiempo y no los estados. El problema de la cuantización del campo ahora se ha reducido a la cuantización de osciladores armónicos.

Expresando el oscilador armónico en términos de creación y aniquilación de los operadores, que es una base diferente:

$$ q(t) = \frac{1}{\sqrt{2\omega}}\left[a(t) + a^{\dagger}(t) \right] $$ El tiempo de evolución de la creación y aniquilación de los operadores se puede encontrar mediante la resolución de Heisenberg de la ecuación de movimiento, generando el resultado para el oscilador armónico: $$ q_{\mathbf p}(t) = \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf p}}}\left[a_{\mathbf p}e^{-i\omega_{\mathbf p}t} + a^{\dagger}_{-\mathbf p}e^{i\omega_{\mathbf p}t} \right] $$ donde el $-\mathbf p$ subíndice en el segundo operador es introducido para su posterior conveniencia. Sustituyendo esto en el campo de la expresión como una transformada de Fourier: $$ \phi(t,\mathbf x) = \int \frac{\mathrm{d}^{3}\mathbf{p}}{(2\pi)^3}\frac{e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}}{\sqrt{2\omega_{\mathbf p}}}\left[a_{\mathbf p}e^{-i\omega_{\mathbf p}t} + a^{\dagger}_{-\mathbf p}e^{i\omega_{\mathbf p}t} \right] = \int \frac{\mathrm d^3{\mathbf p}}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf p}}}\left[a_{\mathbf p} e^{-ip_{\mu}x^{\mu}} + a_{\mathbf p}^{\dagger}e^{ip_{\mu}x^{\mu}}\right]$$ moviendo el signo de $\mathbf p$ en el segundo término.

Answer 4

No necesita ningún Ansatz. La ecuación KG en coordenadas $\left(\partial_\mu \partial^\mu + m^2 \right)\phi (x) =0$ debe traducirse en coordenadas de impulso utilizando:

$$\phi (x) = \frac{1}{(2\pi)^4} \int_{\mathbb R^4} ~d^4 k ~ \tilde{\phi}(k) e^{ik_\mu x^\mu}$$

¿Puedes hacer este cálculo?

Answer 5

El factor en el denominador proviene de la integración sobre el componente de tiempo de el impulso cuatro vector (que es la E). Cuando usted hace una transformada de Fourier de ir de d^4 x a d^4 k. Luego imponer la energía de la restricción de la equiparación de la E^2 k^2. La función delta de k_0^2 es la función delta de k_0 dividido por su derivada en k_0 = E. a continuación, obtener una integral a lo largo de tres dimensiones impulso espacio, pero divididos por 2E. Usted puede encontrar una manera bastante detallada explicación de esto en Ashok Das " libro "Conferencias sobre la Teoría Cuántica de campos", que en general tiene mucho más detalle que la mayoría de los libros.