Determinante de la matriz contradice el correspondiente volumen de la caja – ¿cómo es posible?

Question

Me estoy tomando una línea de algebra lineal curso y se quedó atascado con un problema (no de crédito)... Ya que no conozco a nadie calificado en la persona, este es el último recurso. Bastante seguro de que he hecho trivial de error, pero no lo encuentro... Si se puede ver, por favor hágamelo saber. Gracias de antemano.

Como sabemos, el valor absoluto del determinante de una matriz cuadrada es igual al volumen del paralelepípedo con bordes correspondientes a la matriz de columnas (o filas).

Considere la matriz $A$ de columnas $(1,1,0)^T,(0,1,1)^T,(1,0,1)^T$. Su determinante es 2. Pero a mí me parece que el volumen del cubo con aristas correspondientes a Una de las columnas, no es 2... quiero decir, los tres vectores columna claramente tienen la misma longitud, y es $\sqrt2$, por lo tanto el volumen del cubo con aristas correspondientes a estos vectores deben ser $\sqrt2^3=2\sqrt2$.

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Los vectores dados no forman un cubo, así que usando la fórmula de volumen del cubo es válido. En particular, los vectores tendría que ser ortogonal (producto de punto cero para todos los pares) de dicha fórmula a aplicarse, pero aquí no están. En efecto, el ángulo entre cada uno de los pares aquí es 60°.

Answer 2

Sus 3 vectores están relacionados con un cubo, pero no forman las aristas del cubo. Son las diagonales de las caras adyacentes 3:

Answer 3

Hice un gif que muestra la transformación. Al principio puede ver la unidad de cubo y al final de la animación se puede ver la unidad de cubo transformado por la matriz $$\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\\end{bmatrix}$$ Como se dijo esta forma no es un cubo, sino un paralelepípedo de modo que no puede calcular el área multiplicando la longitud de la expansión de los vectores. Entonces, ¿cuál es el volumen de este paralelepípedo? Hay un par de maneras de calcular este. Resulta que el determinante de esta matriz es una forma de recordar que el determinante puede ser negativo si la forma si se volcó. De esta manera es realmente complicado para la prueba de matrices 3D, aunque. En dos dimensiones, la determinante corresponde al área de un paralelogramo que usted puede prueba geométricamente.

Por último ten en cuenta que cada vector unitario obtiene asignada a su correspondiente vector de columna en la matriz y que todas las líneas paralelas permanecen paralelos. Esto le ayuda a visualizar las transformaciones de matriz.