Es el producto de todos los objetos de un número finito de categoría de un objeto inicial?

Question

Si el producto de todos los objetos en un número finito de categoría existe, es un objeto inicial? Supongo que es así, pero todavía estoy aprendiendo de este tema y no puedo hacer una prueba de ir a través de. Consejos bienvenidos. (No es una tarea problema, excepto en la medida en que me puse a mí mismo.)

Por definición, si $x_1, \dots, x_n$ son los objetos de la categoría, su producto $\Pi$ es un objeto equipado con "proyecciones" $p_i : \Pi \to x_i$, de tal manera que para cada objeto $x$ de la categoría y de la colección de morfismos $f_i : x \to x_i$, no existe un único morfismos $f : x \to \Pi$ tal que $p_i \circ f = f_i$.

Answer 1

Considerar la categoría de $\mathsf{C}$ con un solo objeto $x$ y dos morfismos: $\operatorname{id}_x$ $f : x \to x$ tal que $f \circ f = f$. A continuación, $x$ es, por supuesto, el producto de todos los objetos en $\mathsf{C}$. Pero no es un objeto inicial, debido a que hay dos morfismos $x \to x$.