El anillo de $ℤ/nℤ$ es un campo si y sólo si $n$ es el prime

Question

Deje $n \in ℕ$. Muestran que el anillo de $ℤ/nℤ$ es un campo si y sólo si $n$ es primo.

Deje $n$ prime. Necesito mostrar que si $\bar{a} \neq 0$$∃\bar b: \bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{1}$. Cualquier sugerencias para esto ?

Supongamos $ℤ/nℤ$ es un campo. Por lo tanto: para cada $\bar{a} \neq 0$ $∃\bar b: \bar{a}\cdot \bar{b}=1$. ¿Cómo puedo demostrar que $n$ debe ser un primo ?

Answer 1

Sugerencias: Si $p \not\mid a$ $ak \operatorname{mod} p$ son diferentes para $k=0, \ldots, p-1$. Si $n$ no es primo, entonces $n=mk$$2\le m,k \le n-1$.

Answer 2

Sólo por una idea básica :

Ver que , En $\mathbb{Z}_4$, el elemento $\bar{2}$ no tiene inversa.

Ver que , En $\mathbb{Z}_6$ el elemento $\bar{2}$ $\bar{3}$ no tiene inversa.

Ver que , En $\mathbb{Z}_8$ el elemento $\bar{2}$ $\bar{4}$ no tiene inversa.

En general, en $\mathbb{Z}_{pq}$ elementos $\bar{p}$ $\bar{q}$ no tiene inversa.

Supongamos $n$ es el primer y deje $\bar{a} \in \mathbb{Z}_n$

Considere la posibilidad de $\{ \bar{a}.\bar{b} : \bar{b}\in \mathbb{Z}_n\}$.

por favor, compruebe que este no puede ser un subconjunto de a $\mathbb{Z}_n$

(Se supone que para usar ese $n$ es el primer para demostrar que por encima de resultado).

Como $\{ \bar{a}.\bar{b} : \bar{b}\in \mathbb{Z}_n\}= \mathbb{Z}_n$, vemos que :

para algunos $\bar{b}\in \mathbb{Z}_n$ tenemos $\bar{a}. \bar{b}=\bar{1}$, por lo que estamos por hacer.

Answer 3

Sugerencia: Para el primer implica campo, utilice el hecho de que no hay divisores de cero y el principio del palomar para argumentar no debe ser un $\overline b$

Answer 4

Yo abreviar su anillo a "$R$".

Pista 1)

Supongamos $p$ es el primer y probar, primero, que el $\bar{a},\bar{b}\neq0$ implica $\bar{ab}\neq \bar{0}$. Si al contrario $a,b$ no eran múltiplos de $p$, pero $ab$ es un múltiplo de a $p$, se puede ver la contradicción? Use esto para mostrar que $\{\bar{a}r\mid r\in R\}=R$, lo que demuestra que no es $b$ tal que $ab=1\in R$.

Pista 2) Existe $1 <j,k<n$ tal que $jk=n$. Lo que hace que se vean como en el ring? (Me refiero a $\bar{j}\bar{k}\in R$