¿Cuál es la probabilidad de que el cuadrado de $U$ está dentro de la plaza de la $S$

Question

Dado un cuadrado de $S$ con un tamaño de $1 \times 1$. Dos seleccionados al azar los puntos de $A$ $B$ están dentro del cuadrado. Deje $U$ ser un cuadrado con la diagonal $AB$. Cómo averiguar la probabilidad de $P$($U$ es dentro de $S$).

Answer 1

Suponga que el cuadrado de $S$ $(0,1)\times(0,1)$ y que los puntos seleccionados $A$$B$$(X,Y)$$(Z,T)$. Entonces, $X$, $Y$, $Z$ y $T$ son yo.yo.d. y uniforme en $(0,1)$ y $$[U\subconjunto S]=C\cap D',$$ donde $$C=[2W\lt X+Y+Z+T],\qquad D=[X+Y+Z+T\lt2+2V].$$ y $$V=\min(X,Y,Z,T),\qquad W=\max(X,Y,Z,T).$$ Queda por calcular $P[C\cap D]$.

La simetría $$(X,Y,Z,T,V,W)\a(1-X,1-Y,1-Z,1-T,1-W,1-V)$$ los intercambios $C$ $D$ por lo tanto deja el evento $[U\subset S]$ invariante y uno ha $P[C]=P[D]$. Desde $[2W\gt2+2V]=\varnothing$, $C^c\cap D^c=\varnothing$, es decir, $C\cup D=\Omega$ por lo tanto $$P[C\cap D]=2P[C]-1.$$ Queda por calcular $P[C]$.

Suponer sin pérdida de generalidad que $W=T$, entonces, condicionalmente en $[T=t]$, $X$, $Y$ y $Z$ son yo.yo.d. y uniformemente distribuidos en $(0,t)$. Por lo tanto, $P[C\mid W=T=t]=1-|\Delta_t|/t^3$, donde $$\Delta_t=\{(x,y,z)\en(0,t)^3\mid x+y+z\lt t\}.$$ Por la escala, $P[C\mid W=T=t]=1-|\Delta_1|$. Esto no depende de la $t$ por lo tanto $$P[C]=1-|\Delta_1|.$$ Queda por calcular $|\Delta_1|$.

Si $X$, $Y$ y $Z$ son una vez más yo.yo.d. y uniforme en $(0,1)$, la distribución de $X+Y+Z$ ha CDF $P[X+Y+Z\lt u]=\frac16u^3$ por cada $u$ $(0,1)$ (para valores más altos de $u$, la fórmula cambia). En particular, $P[X+Y+Z\lt1]=|\Delta_1|=\tfrac16$.

Finalmente, $P[C]=\tfrac56$ por lo tanto $$P[U\subconjunto S]=\tfrac23.$$