$f,g:[a,b]\to [a,b]$ son continuos, $f\circ g=g\circ f$ $f$ es de 1-1. Mostrar que $\exists t\in [a,b]$, de modo que $f(t)=g(t)=t$

Question

Usando el Teorema del Valor Intermedio en $h(x)=f(x)-x$ $r(x)=g(x)-x$ me puede mostrar fácilmente que $\exists t_f,t_g\in[a,b]$, de modo que $f(t_f)=t_f$$g(t_g)=t_g$. Queda por demostrar que $t_f=t_g$. Desde $f$ es de 1-1 y continua, $f$ es monótono.

Caso 1: $f$ es estrictamente decreciente. Si $g(t_f)>t_f$ $f(g(t_f))<f(t_f)=t_f\Rightarrow g(f(t_f))<t_f\Rightarrow g(t_f)<t_f$ lo cual es una contradicción. Del mismo modo $g(t_f)<t_f$ conduce a una contradicción y por lo $g(t_f)=t_f$.

Caso 2:$f$ es estrictamente creciente. Aquí es donde estoy atascado :( Alguna pista?

Answer 1

Considerar sólo los $t_g$'s. Es posible que haya más de ellos, y no necesariamente sería también el punto fijo de $f$.

Deje $t_0$ un punto fijo de $g$, y considerar la posibilidad de $$t_{n+1}:= f(t_n)$$ Luego, por inducción $$g(t_{n+1}) = f\circ g\circ f^{-1}(f(t_n))= f(g(t_n))=f(t_n)=t_{n+1}$$ se queda en un punto fijo de $g$. Creo que, usted puede averiguar el resto.