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f,g:[a,b][a,b] son continuos, fg=gf f es de 1-1. Mostrar que t[a,b], de modo que f(t)=g(t)=t

Usando el Teorema del Valor Intermedio en h(x)=f(x)x r(x)=g(x)x me puede mostrar fácilmente que tf,tg[a,b], de modo que f(tf)=tfg(tg)=tg. Queda por demostrar que tf=tg. Desde f es de 1-1 y continua, f es monótono.

Caso 1: f es estrictamente decreciente. Si g(tf)>tf f(g(tf))<f(tf)=tfg(f(tf))<tfg(tf)<tf lo cual es una contradicción. Del mismo modo g(tf)<tf conduce a una contradicción y por lo g(tf)=tf.

Caso 2:f es estrictamente creciente. Aquí es donde estoy atascado :( Alguna pista?

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Berci Puntos 42654

Considerar sólo los tg's. Es posible que haya más de ellos, y no necesariamente sería también el punto fijo de f.

Deje t0 un punto fijo de g, y considerar la posibilidad de tn+1:=f(tn) Luego, por inducción g(tn+1)=fgf1(f(tn))=f(g(tn))=f(tn)=tn+1 se queda en un punto fijo de g. Creo que, usted puede averiguar el resto.

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