Supongamos que $ \int_0 ^1 f(x)x^kdx = 0$ para cualquier número entero no negativo $k$ . Mostrar $f \equiv 0$ en $[0,1]$ .

Question

El problema está en el título con el supuesto añadido de que $f$ es continua. Mi prueba es que $p_n \to f$ de manera uniforme para alguna secuencia de polinomios $p_n$ por el Teorema de Aproximación de Weierstrass. Así que.., $$ \int_0 ^1f(x)^2dx = \int_0 ^1f(x)(f(x)-p_n(x))dx$$ $$ \leq\max |f| \int_0 ^1|f(x)-p_n(x)|dx \to 0$$ por la convergencia uniforme de la $p_n$ . Luego $ \int_0 ^1 f(x)^2dx = 0$ y $f$ continuo implican $f \equiv 0$ . ¿Esto le parece correcto a todo el mundo?

Answer 1

Esto se ve bien. Para que conste, este fue el problema B7 [sic] en el examen de Putnam de 1958 (en realidad la pregunta se refería a las funciones en un intervalo fijo arbitrario $[a,b]$ pero eso es equivalente a $[0,1]$ por el cambio lineal de la variable), y la solución publicada utiliza la aproximación de Weierstrass como tú.