Una dura cálculo diferencial problema

Question

Esta es una pregunta que he tenido un montón de problemas con el. Me lo HA solucionado, sin embargo, con un montón de problemas y con una muy fea de cálculo. Por lo tanto, quiero pedir a ustedes (que son probablemente más " matemáticamente-mente, por así decir) cómo resolver esto. Tenga en cuenta que usted no debe usar demasiado avanzada cosas, sin ecuaciones diferenciales o similair cosas que aprendí en la universidad:

Dado son las funciones $f_p(x) = \dfrac{9\sqrt{x^2+p}}{x^2+2}$. La línea de $k$ con una pendiente de 2,5 toques $f_p$$A$$x_A = -1$. Obtener la función de k algebraicamente.

• Podría haber usado mal la terminología, porque el inglés no es mi lengua materna, yo espero aclarar las dudas sobre lo que este problema está mostrando lo que hice.

En primer lugar, tengo $[f_p(x)]'$. Esto era MUY molesto, y es la razón principal por la que me encontré con este problema un reto, porque de todos los pasos. Pueden ustedes me muestran la manera más fácil y sobre todo más rápida manera de conseguir este derivado?

Después de eso, me llena de $-1$ en el de derivados y de hecho la derivada igual a $2\dfrac{1}{2}$, esto también fue problemático para mí, yo seguía recibiendo respuestas incorrectas por un tiempo, de nuevo: Pueden ustedes me muestran la manera más fácil y sobre todo más rápida manera de resolver esto?

Después de obtener p es bastante sencillo. Sé que esto puede sonar como una pregunta extraña, pero básicamente se reduce a: necesito formas más rápidas y fáciles de hacer esto. No quiero hacer errores por descuido, sino porque la longitud de estos tipos de pregunta, SIEMPRE sucede. Consejos y trucos acerca de este tema en general sería muy apreciada.

Actualización: Una recompensa irá a la persona con la más clara y concisa la forma de solucionar esta pregunta!

Answer 1

Por "toques" supongo que te refieres a que la línea es tangente a la gráfica de $f_p$. Usted puede tratar de diferenciación implícita. Empezar con $$ y = \frac{9\sqrt{x^2 + p}}{x^2 + 2}. $$ Multiplicar por $x^2 + 2$ para obtener $$ y(x^2 + 2) = 9\sqrt{x^2 + p}. $$ El cuadrado, se obtiene $$ y^2 (x^2 + 2)^2 = 81 (x^2 + p). $$ Diferenciar ambos lados implícitamente por $x$: $$ 2yy'(x^2 + 2)^2 + y^2 2 (x^2 + 2) 2x = 162x. $$ Ahora, conecte todos los datos ($x = -1$, $y'(-1) = 2.5$) para obtener una ecuación cuadrática para $y(-1) = y$: $$ -12y^2 + 45y = -162. $$ Soluciones de $y = 6$$y = \frac{-9}{4}$, pero nota que su función es siempre positiva, por lo $y(-1) = 6$ y la línea es $2.5x + 8.5$.

Answer 2

Veo que usted está buscando algo conciso, pero creo que usted encontrará que este es el más claro y a prueba de fallos.

Me parece que tratar de simplificar las cosas tanto como sea posible, en general, ayuda.

Para empezar, tenga en cuenta que el problema está tratando de preguntar. Tenemos una pendiente de la línea, y cumple la función a la izquierda de la $x$-eje. Queremos que esta línea.

La Derivada

Ahora, tenemos la derivada. Por lo general hay bastante sencillo método para resolver muchas de las preguntas que usted va a venir a través, así que vamos a ver si podemos simplificar las cosas... Tenemos la ecuación:

$$f_p(x)=9\frac{\sqrt{x^2+p}}{x^2+2}$$

Tomo nota de la "$x^2 + \text{something}$" término en el numerador y el denominador. Podemos usar eso como un buen punto de partida, y romper el problema en piezas utilizando este término como el bloque de construcción básico:

$$f_p(x)=9\cdot\left(\sqrt{x^2+p}\right)\cdot\frac{1}{x^2+2}$$

Esto parece más manejable para mí. La clave para los derivados, y más tarde en el cálculo si se entera de que está tratando de romper cosas en piezas más manejables. Podemos ignorar el 9 en la ecuación, así que vamos a intentar escribir esta ecuación más sencilla:

$$\frac{1}{9}f_p(x)=\left(\sqrt{x^2+p}\right)\cdot\frac{1}{x^2+2}$$

Esto encaja en el producto de la regla de derivados:

$$\frac{d}{dx}u\cdot v=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$$

Una vez más, tenemos:

$$\frac{1}{9}f_p(x)=\underbrace{\left(\sqrt{x^2+p}\right)}_\bf{u} \underbrace{\cdot\frac{1}{x^2+2}}_\bf{v}$$

Así que ahora a hacer todo este derivado, realmente sólo tenemos que calcular el $du$$dv$. Así:

$$u = \sqrt{x^2+p} = (x^2+p)^{1/2}\implies du = 1/2(x^2+p)^{-1/2} \cdot 2x$$ $$v = \frac{1}{x^2+2} = (x^2 + 2)^{-1} \implies dv = -1(x^2 + 2)^{-2} \cdot 2x$$

En los derivados de arriba, yo un punto para separar las piezas de la derivada de nuevo. Es realmente útil cuando no son complicadas ecuaciones involucradas. Ese pequeño punto ayuda a simplificar las cosas por romperse en pedazos, por lo que las ecuaciones o wahtever convertido en mucho más manejable. Lo que realmente puede ayudar a reducir los errores por romper cosas en piezas más manejables.

Ahora que esas piezas se hacen (y esperemos que doublechecked) podemos juntar las piezas de la original de derivados. En este momento, podríamos tomar un paso adicional, y tratar de simplificar las piezas:

$$du = 1/2(x^2+p)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+p}}$$

$$dv = -1(x^2 + 2)^{-2} \cdot 2x = \frac{-x}{(x^2 + 2)^2}$$

Recordar la regla del producto, tenemos:

$$u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} = \left(\sqrt{x^2+p}\frac{-x}{(x^2 + 2)^2}\right) + \left(\frac{1}{x^2+2} \frac{x}{\sqrt{x^2+p}}\right)$$

¿Te acuerdas de los 9 que se incluye? Ahora podemos llevar esta de vuelta. Además de eso, nada más que hay que hacer con los derivados, excepto tal vez por simplificar.

La Ecuación de la Línea

Palabras De Cierre He encontrado que incluso de simples preguntas/problemas, y especialmente complicados y tediuous preguntas/problemas, que software de matemáticas realmente ayuda. Sé que puede ser difícil de conseguir, y que usted no puede ser capaz de utilizarlo siempre, pero realmente ayuda a explorar las matemáticas. He encontrado que "jugar" con las matemáticas es una gran manera de aprender y entender las cosas. Eso y la práctica (con random/problemas diferentes) puede hacer una gran diferencia en la habilidad matemática.